У математиці, і зокрема в лінійній алгебрі, формула Мура-Пенроуза Матриця , яку часто називають псевдооберненою матрицею, є найбільш відомим узагальненням оберненої матриці. Його незалежно описали Е. Г. Мур у 1920 році, Арне Б'єрхаммар у 1951 році, та Роджер Пенроуз у 1955 році. Раніше Ерік Івар Фредгольм ввів концепцію псевдооберненої матриці інтегральних операторів у 1903 році.

Поширеним використанням псевдооберненої функції є обчислення наближеного розв'язку «найкращого наближення» (методу найменших квадратів) для системи лінійних рівнянь, яка не має точного розв'язку (див. нижче в § Застосування). Іншим використанням є знаходження мінімального (евклідового) нормованого розв'язку для системи лінійних рівнянь з кількома розв'язками. Псевдообернена матриця полегшує формулювання та доведення результатів у лінійній алгебрі.

Псевдообернена матриця визначена для всіх прямокутних матриць, елементами яких є дійсні або комплексні числа. Для прямокутної матриці з дійсними або комплексними елементами її псевдообернена матриця є унікальною. Її можна обчислити за допомогою розкладу за сингулярними числами. У окремому випадку, коли  — нормальна матриця (наприклад, ермітова матриця), псевдообернена матриця знищує ядроСпряжений простір і діє як традиційна інверсія у підпросторі, ортогональному до ядра.

Позначення У подальшому описі використовуються наступні умовні позначення.

позначатиме одне з полів дійсних або комплексних чисел, які позначаються та відповідно. Векторний простір матриць розмірності над полем позначається як . Для , транспоновану матрицю позначають , а ермітову матрицю, яку також називають спряженою матрицею, . Якщо , тоді . Для , (означає "область значень") позначає простір стовпця (зображення) (простір, що покривається стовпчиковими векторами ), а позначає ядро (нульовий простір) . Для будь-якого натурального числа , одиничну матрицю позначають .

Визначення Для , псевдообернену до матрицю визначають як . Вона задовольняє чотирьом умовам, відомим як умови Мура-Пенроуза:

необов'язково має бути загальною одиничною матрицею, але вона відображає всі вектори-стовпці матриці на самих себе: діє як слабка обернена матриця: є ермітовою матрицею: також є ермітовою: