Правильний трикутникТипПравильний багатокутникВластивостіОпуклий, рівностороннійЕлементи 3 ребра3 вершиниПозначенняСимвол Шлефлі {3} Діаграма Коксетера-Динкіна або (x3o)Група симетрії D3, порядок 6 (Діедральна група)ДвоїстийСамодвоїстий Правильний трикутник (тригон від грец. τρεῖς - три та γωνία -кут) — трикутник, у якого всі сторони і кути рівні. Тому його також називають рівностороннім трикутником.
Також, правильний трикутник — геометрична фігура, правильний багатокутник з трьома сторонами.
Усі внутрішні кути правильного трикутника дорівнюють 60° (або радіан).
Правильний трикутник має три ліній дзеркальної симетрії, що проходять через його висоти, і обертову симетрію 3-го порядку навколо центра О (на кути 60°, 120° і 360°), тобто група рухів (самосуміщень) площини для правильного трикутника складається з 6 елементів.
Формули
Нехай сторона правильного трикутника дорівнює . Тоді:
Периметр: ;
Висота трикутника ‒ відстань від вершини до протилежної сторони: ;
Апофема ‒ відстань від центру до сторони:
Радіус вписаного кола (дотикається до всіх його сторін):
Радіус описаного кола ‒ проходить через всі його вершини:
Радіус зовнівписаного кола ‒ дотикається до сторони та продовження двох інших сторін:
Площа правильного трикутника:
Усі ці формули можна вивести з теореми Піфагора.
Властивості
Правильний трикутник має всі властивості, притаманні правильному багатокутнику та трикутнику. Правильний трикутник є одночасно і рівностороннім і рівнокутним (за означенням). В правильному трикутнику його висоти збігаються з його медіанами та бісектрисами кутів. Висоти, медіани та бісектриси перетинаються в одній точці - центрі правильного трикутника, яка лежить на його висоті на відстані h від основи, тобто точкою перетину діляться у відношенні від основи. Центри вписаного та описаного кола збігаються і лежать в центрі правильного трикутника. В правильному трикутнику всі чудові точки трикутника знаходяться в його геометричному центрі. Це означає, що рівносторонній трикутник є єдиним трикутником, у якого немає лінії Ейлера. Трикутник є рівностороннім, якщо збігаються будь-які два з його центрів:центр описаного кола, інцентр (центр вписаного кола), центроїд або ортоцентр. Він також є рівностороннім, якщо його центр описаного кола збігається з точкою Наґеля або якщо його центр вписаного кола збігається з центром кола дев’яти точок. В правильному трикутнику коло дев'яти точок збігається з вписаним колом. Правильні трикутники є гранями для 8 опуклих багатогранників: трьох тіл Платона (правильного тетраедра, октаедра та ікосаедра), а також п'яти тіл Джонсона. Багатогранники, всі грані яких - правильні трикутники, називаються дельтаедрами. Також правильний трикутник є гранню для одного тіла Кеплера-Пуансо, а саме великого ікосаедра. Правильний трикутник ‒ один із двох правильних багатокутників, що не має зірчастої форми; інший — квадрат.
Правильними трикутниками можна замостити площину без проміжків та накладень. Також в усіх присутній рівносторонній трикутник . Правильний трикутник є першим в нескінченній родині правильних багатокутників, та третім в нескінченному сімействі n- симплексів, при n = 2.
Теореми, пов'язані з правильним трикутником Теорема Вівіані: У будь-якому рівносторонньому трикутнику ABC сума відстаней від будь-якої внутрішньої точки трикутника до його сторін дорівнює висоті трикутника.
Теорема Морлі: Точки перетину суміжних трисектрис кутів довільного трикутника є вершинами рівностороннього трикутника.
Теорема Наполеона: Якщо на кожній стороні трикутника побудувати рівносторонній трикутник (або всі три назовні, або всі три всередину), то їхні центри будуть вершинами іншого рівностороннього трикутника.
Теорема Помпею: Для довільного рівностороннього трикутника та довільної точки в його площині відрізки , та є сторонами трикутника (можливо, виродженого).
Теореми Тебо 2 и 3 Для будь-якого трикутника три медіани ділять трикутник на шість менших трикутників. Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли будь-які три менших трикутника мають однаковий периметр або однаковий радіус. Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли центри описаного кола будь-яких трьох менших трикутників знаходяться на однаковій відстані від центроїда. На плошині дано трикутник і довільну точку P.
, , ‒ відстані від точки P до сторін трикутника; , , ‒ відстані від точки P до вершин трикутника.
Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли для кожної точки P площини виконується нерівність:
Геометрична побудова
Рівносторонній трикутник можна накреслити за допомогою циркуля та лінійки. Для цього необхідно виконати такі дії:
Провести пряму та поставити на неї циркуль гострим кінцем; Провести коло; Поставити циркуль в одну із точок перетину кола та прямої, провести ще одне коло такого ж радіусу; З'єднати прямими центри кіл та точку перетину цих кіл.
Альтернативний спосіб:
Накреслити коло довільного радіусу; Поставити циркуль на це коло і накреслити ще одне коло такого ж радіусу; Ці два кола перетинаються в двох точках, кожна з точок перетину разом із центрами кіл утворюють правильні трикутники.
Див. також Задача про голку Правильний многокутник Трикутник Трикутні числа Трикутний паркет
Примітки
Джерела Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — К.: Генеза, 2005. —120 с.: іл. — ISBN 966-504491-1
Посилання
Politope Wiki. Triangle Weisstein, Eric W.Triangle. MathWorld.