Сингулярність Белінського-Халатнікова-Ліфшиця ( або BKL) — це модель динамічної еволюції Всесвіту поблизу початкової гравітаційної сингулярності, що описується анізотропним, хаотичним розв'язком польового рівняння гравітації Ейнштейна. Згідно з цією моделлю, Всесвіт хаотично коливається навколо гравітаційної сингулярності, в якій час і простір стають рівними нулю або, що еквівалентно, кривина простору-часу стає нескінченно великою. Ця сингулярність є фізично реальною в тому сенсі, що вона є необхідною властивістю розв'язку, і вона також з'являтиметься в точному розв'язку цих рівнянь. Сингулярність не створюється штучно припущеннями та спрощеннями, зробленими іншими спеціальними розв'язками, такими як розв'язки Фрідмана-Леметра-Робертсона-Вокера, квазіізотропні та розв'язки Каснера.

Модель названа на честь її авторів Володимира Белінського, Ісаака Халатнікова та Євгена Ліфшиця, які тоді працювали в Інституті теоретичної фізики імені Ландау.

Картина, розроблена BKL, має кілька важливих елементів. Це:

Поблизу сингулярності еволюція геометрії в різних просторових точках роз'єднується, так що розв'язки диференціальних рівнянь з частинними похідними можна апроксимувати розв'язками звичайних диференціальних рівнянь відносно часу для відповідно визначених просторових масштабних коефіцієнтів. Це називається гіпотезою BKL. Для більшості типів матерії вплив матеріальних полів на динаміку геометрії поблизу сингулярності стає неістотним. Іншими словами, за формулюванням Джона Вілера, «матерія не має значення» в околі сингулярності. В оригінальній роботі BKL припускалося, що внесок матерії є незначним для широкого класу речовин. Однак пізніше було запропоновано уточнення, згідно з яким «жорстка матерія» з рівнянням стану p = ε, еквівалентна безмасовому скалярному полю, може суттєво впливати на динаміку простору-часу поблизу сингулярності. Звичайні диференціальні рівняння, що описують асимптотику, походять з класу просторово однорідних розв'язків, які складають динаміку Міксмастера: складну коливальну та хаотичну модель, яка демонструє властивості, подібні до тих, що обговорювалися БКЛ.

Вивчення динаміки Всесвіту поблизу космологічної сингулярності стало швидко розвивається галузь сучасної теоретичної та математичної фізики. Узагальнення моделі BKL на космологічну сингулярність у багатовимірних (типу Калуци-Клейна) космологічних моделях має хаотичний характер у просторах-часах, розмірність яких не перевищує десяти, тоді як у просторах-часах вищих розмірностей Всесвіт, зазнавши скінченної кількості коливань, переходить у монотонний режим стискання типу Каснера.

Розвиток космологічних досліджень, заснованих на моделях суперструн, виявив деякі нові аспекти динаміки поблизу сингулярності. У таких моделях переходи між епохами Каснера ініціюються не гравітаційними взаємодіями, а впливом додаткових присутніх полів. Було показано, що космологічні моделі, засновані на шести основних теоріях суперструн та одинадцятивимірній супергравітації, демонструють хаотичну BKL-динаміку при наближенні до сингулярності. Також встановлено зв’язок між осциляторними BKL-подібними космологічними моделями та певним підкласом нескінченновимірних алгебр Лі — так званими гіперболічними алгебрами Каца–Муді.

Вступ Основою сучасної космології є спеціальні розв’язки рівнянь гравітаційного поля Ейнштейна, отримані Олександром Фрідманом у 1922–1924 роках. Всесвіт у цих моделях вважається однорідним (простір має однакові метричні властивості в усіх точках) та ізотропним (метричні властивості не залежать від напряму). Розв’язки Фрідмана допускають дві можливі геометрії простору: замкнену модель із «сфероподібною», опуклою назовні геометрією (додатна кривина) та відкриту модель із «сідлоподібною», увігнутою геометрією (від’ємна кривина). В обох випадках Всесвіт не є статичним: він або розширюється, або стискується. Це підтвердив Едвін Габбл, який встановив червоне зміщення галактик, що віддаляються (закон Габбла). Сучасний консенсус полягає в тому, що ізотропна модель загалом адекватно описує поточний стан Всесвіту; однак сама по собі ізотропія сучасного Всесвіту не є підставою вважати, що ця модель є коректною для опису ранніх етапів його еволюції. Водночас очевидно, що в реальному світі однорідність є лише наближенням: хоча на масштабах, значно більших за міжгалактичні відстані, можна говорити про приблизно однорідний розподіл густини матерії, на менших масштабах ця однорідність зникає. З математичного погляду припущення однорідності є дуже сильним, оскільки воно призводить до високосиметричних розв’язків, які можуть мати специфічні властивості, що зникають у більш загальних моделях.

Іншою важливою властивістю ізотропних моделей є неминуча наявність часової сингулярності: перебіг часу не є безперервно необмеженим, а переривається або змінює характер після досягнення певних дуже великих або дуже малих значень. Між сингулярностями час має однозначний напрямок — від сингулярності, що визначає «вісь часу». В відкритій моделі існує одна часова сингулярність, тобто час обмежений з одного боку і необмежений з іншого, тоді як у замкненій моделі наявні дві сингулярності, що обмежують часову вісь з обох боків (Великий вибух і Велике стискання).

Єдиними фізично цікавими властивостями просторів-часів (зокрема сингулярностями) є ті, що є стабільними, тобто зберігаються при малих збуреннях початкових даних. Сингулярність може бути стабільною і водночас не мати фізичної релевантності: стабільність є необхідною, але не достатньою умовою фізичної значущості. Наприклад, сингулярність може залишатися стабільною лише в околі множини початкових умов, що відповідають сильно анізотропним Всесвітам. Оскільки спостережуваний Всесвіт є майже ізотропним, така сингулярність не може реалізовуватися в нашому фізичному контексті. Достатньою умовою фізичної значущості стабільної сингулярності є її генералізованість (або загальність). У загальному наближенні стабільна сингулярність є генеричною, якщо вона виникає поблизу будь-якого набору початкових умов, за умови, що неквазігравітаційні поля обмежені певними «фізично реалістичними» класами, тобто передбачається виконання рівнянь Ейнштейна, рівнянь стану тощо на еволюційних просторах-часах. Водночас може трапитися, що сингулярність є стабільною відносно малих змін істинних гравітаційних ступенів вільності, але не є загальною, оскільки її поява залежить від вибору координатної системи або, точніше, від вибору початкової гіперповерхні, з якої еволюціонує простір-час.

Для систем нелінійних диференціальних рівнянь, таких як рівняння Ейнштейна, загальний розв’язок не визначається однозначно. У принципі можливі кілька загальних інтегралів, і кожен із них може охоплювати лише скінченну підмножину всіх допустимих початкових умов. Такі інтеграли можуть містити всі необхідні незалежні функції, однак із додатковими обмеженнями (наприклад, нерівностями). Існування загального розв’язку з сингулярністю не виключає існування інших загальних розв’язків, які сингулярності не містять. Наприклад, немає підстав заперечувати існування загального розв’язку без сингулярності, що описує ізольований об’єкт малої маси.

Знайти загальний інтеграл, справедливий для всього простору-часу і всіх моментів часу, неможливо. Однак це й не є необхідним: достатньо дослідити поведінку розв’язку в околі сингулярності. Це дозволяє також прояснити інше питання — характер еволюції метрики простору-часу в загальному розв’язку при наближенні до фізичної сингулярності, що розуміється як область, у якій густина матерії та інваріанти тензора кривини Рімана стають нескінченними.

Існування фізичної часової сингулярності Однією з ключових проблем, що досліджувалися в групі Ландау (до якої належали і BKL), було питання, чи обов’язково релятивістські космологічні моделі містять часову сингулярність, чи вона є артефактом припущень, зроблених для спрощення цих моделей. Незалежність сингулярності від симетрійних припущень означала б, що часові сингулярності існують не лише у спеціальних, але й у загальних розв’язках рівнянь Ейнштейна. При цьому природно припустити, що якщо сингулярність присутня в загальному розв’язку, то її існування має проявлятися через найзагальніші властивості рівнянь Ейнштейна, хоча такі ознаки самі по собі можуть бути недостатніми для повного її опису.

Критерієм загальності розв’язків є кількість незалежних просторових функцій координат, які вони містять. До них належать лише «фізично незалежні» функції, кількість яких не може бути зменшена жодним вибором системи відліку. У загальному розв’язку така кількість функцій повинна бути достатньою для повного задання початкових умов (розподілу та руху матерії, а також гравітаційного поля) у вибраний початковий момент часу. Для порожнього (вакуумного) простору ця кількість дорівнює чотирьом, а для простору, заповненого матерією та/або випромінюванням, — восьми.

Попередні роботи групи Ландау (огляд у ) приводили до висновку, що загальний розв’язок не містить фізичної сингулярності. Пошук ширшого класу розв’язків із сингулярністю здійснювався, по суті, методом проб і помилок, оскільки систематичний підхід до аналізу рівнянь Ейнштейна на той час був відсутній. Отриманий у такий спосіб негативний результат сам по собі не є переконливим: розв’язок із достатнім ступенем загальності міг би його спростувати, одночасно підтверджуючи коректність позитивних результатів, отриманих для окремих випадків.

На той час єдиною відомою ознакою існування фізичної сингулярності в загальному розв’язку була форма рівнянь Ейнштейна, записаних у синхронній системі відліку, тобто в системі, в якій власний час x0 = t синхронізований у всьому просторі; у такій системі просторовий елемент відстані dl відокремлений від часового інтервалу dtУ роботі BKL використовується та сама конвенція, що й у підручнику . Латинські індекси пробігають значення 0, 1, 2, 3, тоді як грецькі індекси відповідають просторовим компонентам 1, 2, 3. Метрика gik має сигнатуру (+ − − −); при цьому γαβ = −gαβ є тривимірним просторовим метричним тензором. У BKL використовується система одиниць, в якій швидкість світла та гравітаційна стала Ейнштейна приймаються рівними одиниці.. Рівняння Ейнштейна

записане в синхронній системі відліку рівняння дають результат, у якому визначник метрики g неминуче обертається в нуль за скінченний час, незалежно від будь-яких припущень щодо розподілу матерії.

Однак спроби знайти загальну фізичну сингулярність були припинені після того, як стало зрозуміло, що згадана вище особливість пов’язана зі специфічною геометричною властивістю синхронної системи відліку — перетином часових координат ліній. Такий перетин відбувається на деяких охоплюючих гіперповерхнях, які є чотиривимірними аналогами каустичних поверхонь у геометричній оптиці; саме в точках цього перетину g стає рівним нулю. Отже, хоча ця сингулярність є загальною, вона має фіктивний характер і не є фізичною; вона зникає при зміні системи відліку. Це, ймовірно, на певний час знизило інтерес до подальших досліджень у цьому напрямі. Кілька років потому інтерес до проблеми відновився, коли опублікував свої теореми, які пов’язували існування сингулярності невизначеного характеру з дуже загальними припущеннями, що не були пов’язані з вибором системи відліку. Пізніше подібні теореми були отримані Гокінгом та Герохом (див. теореми Пенроуза — Гокінга про сингулярність). Це відновило інтерес до пошуку сингулярних розв’язків.

Узагальнений однорідний розв’язок У просторі, який є одночасно однорідним та ізотропним, метрика визначається повністю, залишаючи вільним лише знак просторової кривини. Якщо ж припустити лише однорідність простору без додаткових симетрій, таких як ізотропія, то вибір метрики стає значно менш обмеженим і допускає більшу кількість ступенів свободи. Подальший розгляд стосується просторової частини метрики в заданий момент часу t у синхронній системі відліку, де t є єдиним синхронізованим часом для всього простору.

Гіпотеза BKL