У математиці, і особливо в геометрії, об'єкт має ікосаедричну симетрію, якщо він має такі ж симетрії, як і правильний ікосаедр. Прикладами інших многогранників з ікосаедричною симетрією є правильний додекаедр (двоїстий до ікосаедра) та ромбічний триаконтаедр.
Кожен многогранник з ікосаедричною симетрією має 60 обертових (або зі збереженням орієнтації) симетрій та 60 симетрій зі зміною орієнтації (які поєднують обертання та відбиття), що дає загальний порядок симетрії 120. Повна група симетрії — це група Коксетера типу . Це може подати та діаграмою Кокстера. Набір обертових симетрій утворює підгрупу, ізоморфну знакозмінній групі на 5 елементах.
Як точкова група Окрім двох нескінченних серій призматичної та антипризматичної симетрії, обертова ікосаедрична симетрія або хіральна ікосаедрична симетрія хіральних об'єктів та повна ікосаедрична симетрія або ахіральна ікосаедрична симетрія є дискретними точковими симетріями (або, що еквівалентно, симетріями на сфері) з найбільшими групами симетрії.
Ікосаедрична симетрія несумісна з трансляційною симетрією, тому немає пов'язаних кристалографічних точкових груп або просторових груп. Шен. Орб. Абстрактна структура Порядок I [5,3]+ 532 А5 60 Ih [5,3] *532 A5×2 120 Відповідні наведеному вище задання:
Вони відповідають ікосаедричним групам (обертовій та повній), які є (2,3,5).
Вперше описав 1856 року Вільям Гамільтон у статті про числення ікосіанів.
Зверніть увагу, що можливі й інші способи задання, наприклад, як знакозмінної групи (для I).
Візуалізації Повна група симетрії — це група Коксетера типу . Це можна задати в та діаграмою Кокстера . Набір обертових симетрій утворює підгрупу, ізоморфну знакозмінній групі на 5 елементах. Шен.(Орб.) Елементи Дзеркальні діаграми Ортогональна Стереографічна проєкція Ih (*532) [5,3] Дзеркальних ліній: 15 Я(532)[5,3]+ Точок обертання:125 203 302
Структура групи Кожен многогранник з ікосаедричною симетрією має 60 обертових (або зі збереженням орієнтації) симетрій та 60 симетрій зі зміною орієнтації (які поєднують обертання та відбиття), що дає загальний порядок симетрії 120. Ребра сферичного представляють 15 дзеркальних площин у вигляді кольорових великих кіл. Кожен октаедр може представляти своїми ребрами 3 ортогональні дзеркальні площини. Піритоедрична симетрія є підгрупою ікосаедричної симетрії індексу 5, з 3 ортогональними зеленими лініями відбиття та 8 червоними точками обертання 3-го порядку. Існує 5 різних орієнтацій піритоедричної симетрії. I має порядок 60. Група I ізоморфна A5, групі знакозмінних перестановок з п'яти елементів. Цей ізоморфізм можна реалізувати дією I на різні з'єднання, зокрема на (які вписуються в додекаедр), або будь-яке з двох з'єднань п'яти тетраедрів (які є енантіоморфами та вписуються в додекаедр). Група містить 5 версій Th із 20 версіями D3 (10 осей, по 2 на вісь), та 6 версій D5.
Ih має порядок 120. Вона має I як нормальну підгрупу індексу 2. Група Ih ізоморфна I×Z2 або A5×Z2, причому інверсія в центрі відповідає елементу (id, -1), де Z2 записується мультиплікативно.
Ih діє на та , але −1 діє як тотожне перетворення (оскільки куби та октаедри центрально симетричні). Вона діє на : I діє на дві хіральні половини (з'єднання п'яти тетраедрів), а −1 міняє дві половини місцями. Примітно, що вона не діє як S5, і ці групи не є ізоморфними; див. подробиці нижче.
Група містить 10 версій D3d та 6 версій D5d (симетрії типу антипризм).
I також ізоморфна PSL2(5), але Ih не ізоморфна SL2(5).
Ізоморфізм I з A 5 Корисно чітко описати, як виглядає ізоморфізм між I та A5. У таблиці нижче перестановки Pi та Qi діють на 5 та 12 елементів відповідно, тоді як матриці обертання Mi є елементами I. Якщо Pk є добутком взяття перестановки P i та застосування до неї Pj, то для тих самих значень i, j та k також істинне, що Qk є добутком взяття Qi та застосування Qj, а також те, що попереднє множення вектора на Mk це те саме, що попереднє множення цього вектора на Mi, а потім попереднє множення цього результату на Mj, тобто Mk = Mj × Mi. Оскільки перестановки Pi є всіма 60 парними перестановками чисел 1, 2, 3, 4 і 5, взаємно-однозначна відповідність є явною, а отже, й ізоморфізм також. Матриця обертанняПерестановка п'яти елементів 1 2 3 4 5Перестановка дванадцяти елементів 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 = () = () = (3 4 5) = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10) = (3 5 4) = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7) = (2 3)(4 5) = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11) = (2 3 4) = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12) = (2 3 5) = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12) = (2 4 3) = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11) = (2 4 5) = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9) = (2 4)(3 5) = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10) = (2 5 3) = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8) = (2 5 4) = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11) = (2 5)(3 4) = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12) = (1 2)(4 5) = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12) = (1 2)(3 4) = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12) = (1 2)(3 5) = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9) = (1 2 3) = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8) = (1 2 3 4 5) = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11) = (1 2 3 5 4) = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9) = (1 2 4 5 3) = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11) = (1 2 4) = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12) = (1 2 4 3 5) = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4) = (1 2 5 4 3) = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9) = (1 2 5) = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10) = (1 2 5 3 4) = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12) = (1 3 2) = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10) = (1 3 4 5 2) = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8) = (1 3 5 4 2) = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12) = (1 3)(4 5) = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9) = (1 3 4) = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7) = (1 3 5) = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11) = (1 3)(2 4) = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10) = (1 3 2 4 5) = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9) = (1 3 5 2 4) = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8) = (1 3)(2 5) = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12) = (1 3 2 5 4) = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12) = (1 3 4 2 5) = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12) = (1 4 5 3 2) = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7) = (1 4 2) = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9) = (1 4 3 5 2) = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8) = (1 4 3) = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11) = (1 4 5) = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12) = (1 4)(3 5) = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11) = (1 4 5 2 3) = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10) = (1 4)(2 3) = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11) = (1 4 2 3 5) = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10) = (1 4 2 5 3) = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7) = (1 4 3 2 5) = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6) = (1 4)(2 5) = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8) = (1 5 4 3 2) = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12) = (1 5 2) = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11) = (1 5 3 4 2) = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6) = (1 5 3) = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12) = (1 5 4) = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10) = (1 5)(3 4) = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7) = (1 5 4 2 3) = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3) = (1 5)(2 3) = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9) = (1 5 2 3 4) = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5) = (1 5 2 4 3) = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10) = (1 5 3 2 4) = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11) = (1 5)(2 4) = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8) Ця неабелева проста група є єдиною нетривіальною нормальною підгрупою симетричної групи на п'яти елементах. Оскільки група Галуа загального рівняння п'ятого степеня ізоморфна симетричній групі на п'яти елементах, а ця нормальна підгрупа є простою та неабелевою, загальне рівняння п'ятого степеня не має розв'язку в радикалах. Доведення теореми Абеля — Руффіні використовує цей простий факт, а Фелікс Кляйн написав книгу, в якій використав теорію ікосаедричних симетрій для виведення аналітичного розв'язку загального квінтичного рівняння. Dover edition, translated from Сучасний виклад наведено в .
Групи, які часто плутають із групою симетрій ікосаедра Такі групи мають порядок 120, але не є ізоморфними:
, симетрична група на 5 елементах , повна ікосаедрична група (предмет цієї статті, також відома як ) ,
Вони відповідають таким коротким точним послідовностям (остання з яких не розщеплюється) та їх добутку
Словами,
є нормальною підгрупою є фактором , яка є прямим добутком є фактор-групою
Зверніть увагу, що має виняткове незвідне 3-вимірне представлення (як ікосаедрична група обертань), але не має незвідного 3-вимірного представлення, що відповідає повній ікосаедричній групі, яка не є симетричною групою.
Їх також можна пов'язати з лінійними групами над скінченним полем із п'ятьма елементами, які безпосередньо демонструють підгрупи та накривні групи; жодна з них не є повною ікосаедричною групою:
проєктивна спеціальна лінійна група; проєктивна загальна лінійна група; спеціальна лінійна група.
Класи спряженості 120 симетрій поділяються на 10 класів спряженості. +класи спряженості I Додаткові класи Ih ідентичність, порядок 1 12 × поворот на ±72°, порядку 5, навколо 6 осей, що проходять через центри граней додекаедра 12 × поворот на ±144°, порядок 5, навколо 6 осей, що проходять через центри граней додекаедра 20 × поворот на ±120°, порядку 3, навколо 10 осей, що проходять через вершини додекаедра 15 × поворот на 180°, порядку 2, навколо 15 осей, що проходять через середини ребер додекаедра центральна інверсія, порядок 2 12 × поворотне відбиття на ±36°, порядку 10, навколо 6 осей, що проходять через центри граней додекаедра 12 × поворотне відбиття на ±108°, порядку 10, навколо 6 осей, що проходять через центри граней додекаедра 20 × поворотне відбиття на ±60°, порядку 6, навколо 10 осей, що проходять через вершини додекаедра 15 × відбиття, порядку 2, у 15 площинах, що проходять через ребра додекаедра
Підгрупи повної ікосаедричної групи симетрії
Кожен рядок у таблиці нижче представляє один клас спряжених (тобто геометрично еквівалентних) підгруп. У стовпці «Крат.» (кратність) зазначено кількість різних підгруп у відповідному класі спряженості.
Пояснення кольорів: зелений — групи, що утворюються внаслідок відбиттів, червоний — хіральні (зі збереженням орієнтації) групи, які містять лише обертання.
Групи описано геометрично в термінах додекаедра.
Скорочення «п.о. (ребро)» означає «півоберт, що обмінює це ребро з протилежним до нього ребром», і аналогічно для «грані» та «вершини». Шен.Орб.Цик.ПорядокІндексКрат.ОписIh[5,3]*5322/mA5×Z212011повна групаD2h[2,2]*222mmmD4×D2=D238155закріплення двох протилежних ребер, можливо, їх обмін місцямиC5v*555mD1010126закріплення граніC3v*333mD6=S362010закріплення вершиниC2v*222mmD4=D2243015закріплення ребраCs[ ]* or mD226015відбиття, що обмінює дві кінцеві точки ребраTh[3+,4]3*2mA4×Z22455піритоедрична групаD5d[2+,10]2*5m2D20=Z2×D102066закріплення двох протилежних граней, можливо, їх обмін місцямиD3d[2+,6]2*3mD12=Z2×D6121010закріплення двох протилежних вершин, можливо, їх обмін місцямиD1d = C2h[2+,2]2*2/mD4=Z2×D243015півоберт навколо середини ребра, плюс центральна інверсіяS10[2+,10+]5×Z10=Z2×Z510126повороти грані, плюс центральна інверсіяS6[2+,6+]3×Z6=Z2×Z362010повороти навколо вершини, плюс центральна інверсіяS2[2+,2+]×Z22601центральна інверсіяI[5,3]+532532A56021всі поворотиT[3,3]+332332A412105повороти вміщеного тетраедраD5[2,5]+522522D1010126повороти навколо центра грані та п.о. (грань)D3[2,3]+322322D6=S362010повороти навколо вершини та п.о. (вершина)D2[2,2]+222222D4=Z224305півоберт навколо середини ребра та п. о. (ребро)C5+555Z55246повороти навколо центра граніC3+333Z3=A334010повороти навколо вершиниC2+222Z226015півоберт навколо середини ребраC1[ ]+111Z111201тривіальна група
Стабілізатори вершин Стабілізатори протилежної пари вершин можна інтерпретувати як стабілізатори осі, яку вони генерують.
Стабілізатори вершин в дають циклічні групи Стабілізатори вершин в дають Стабілізатори протилежної пари вершин в дають діедричні групи Стабілізатори протилежної пари вершин в дають
Стабілізатори ребер Стабілізатори протилежної пари ребер можна інтерпретувати як стабілізатори прямокутника, який вони генерують.
Стабілізатори ребер в дають циклічні групи стабілізатори ребер в дають 4-групи Кляйна стабілізатори пари ребер в дають 4-групи Кляйна ; їх 5, що задаються поворотом на 180° навколо 3 перпендикулярних осей. стабілізатори пари ребер в дають ; їх 5, що задаються відбиттями за трьома перпендикулярними осями.
Стабілізатори граней