У теорії ймовірностей зако́н по́вної коваріа́ції (), фо́рмула ро́зкладу коваріа́ції () або фо́рмула умо́вної коваріа́ції () стверджує, що якщо X, Y і Z є випадковими величинами на тому самому ймовірнісному просторі, а коваріація X і Y скінченна, то
Назва цієї статті побудована за аналогією зі зворотом «». Деякі автори праць із теорії ймовірностей називають це «формулою умо́вної коваріа́ції» або використовують інші назви.
Примітка: Умовні математичні сподівання E( X | Z ) та E( Y | Z ) є випадковими величинами, значення яких залежать від значення Z. Зауважимо, що умовне математичне сподівання X за умови події Z = z є функцією від z. Якщо записати E( X | Z = z) = g(z), то випадкова величина E( X | Z ) дорівнює g(Z). Аналогічні міркування застосовні й до умовної коваріації.
Доведення
Закон повної коваріації можна довести за допомогою закону повного математичного сподівання. Для початку,
зі стандартної тотожності для коваріації. Далі застосовуємо закон повного математичного сподівання, беручи умовне математичне сподівання за випадковою величиною Z:
Тепер перепишемо вираз усередині першого математичного сподівання, використовуючи визначення коваріації:
Оскільки математичне сподівання суми дорівнює сумі математичних сподівань, члени можна перегрупувати:
Нарешті, два останні члени розпізнаємо як коваріацію умовних математичних сподівань E[X | Z] та E[Y | Z]:
Див. також , частковий випадок, що відповідає X = Y. , частковим випадком якого є закон повної коваріації.
Примітки та посилання