Умовне математичне сподівання в теорії ймовірностей — середнє значення випадкової величини відносно умовного розподілу.
Визначення
Вважатимемо, що задано ймовірнісний простір . Нехай — інтегровна випадкова величина, тобто . Нехай також — під-σ-алгебра σ-алгебри .
УМС відносно σ-алгебри Випадкова величина називається умовним математичним сподіванням відносно σ-алгебри , якщо вимірна відносно . , де — індикатор події . Умовне математичне сподівання позначається .
Приклад. Нехай Покладемо . Тоді - σ-алгебра, і . Нехай випадкова величина має вигляд . Тоді
УМС щодо сімейства подій
Нехай — довільне сімейство подій. Тоді умовним математичним сподіванням відносно називається , де — мінімальна сигма-алгебра, що містить .
Приклад. Нехай Нехай також . Тоді . Не випадкова величина має вигляд . Тоді
УМС щодо випадкової величини Нехай інша випадкова величина. Тоді умовним математичним сподіванням відносно називається , де — σ-алгебра, породжена випадковою величиною .
Інше визначення УМС відносно :
Таке визначення конструктивно описує алгоритм знаходження УМС: знайти математичне сподівання випадкової величини , приймаючи за константу ; Потім в отриманому виразі назад замінити на випадкову величину . Приклад:
Умовна ймовірність
Нехай — довільна подія, і — його індикатор. Тоді умовною ймовірністю відносно називається .
Зауваження Умовне математичне сподівання — це випадкова величина, а не число! Умовне математичне сподівання визначене з точністю до подій ймовірності нуль. Таким чином, якщо і -майже усюди, то . Ототожнивши випадкові величини, що розрізняються лише на подіях ймовірності нуль, отримуємо єдиність умовного математичного сподівання. Узявши , отримуємо за визначенням: , і зокрема справедлива формула повної ймовірності: .
Нехай σ-алгебра породжена розбиттям . Тоді . Зокрема формула повної ймовірності приймає класичний вигляд: , а відповідно .
Основні властивості
Якщо , то існує Борелева функція , така що . Умовне математичне сподівання щодо події за визначенням рівне .
Якщо м.н., то п.н. Якщо незалежна від , то м.н. Зокрема, якщо незалежні випадкові величини, то м.н. Якщо — дві σ-алгебри, такі що , то .
Якщо - -вимірна, і — випадкова величина, така що , то .
"Математичне сподівання прибирає умову". Це правило вірне для УМС відносно випадкової величини (УМС в такому разі буде випадковою величиною) і для умовної ймовірності відносно випадкової величини .
Додаткові властивості
Теорема Леві про монотонну збіжність; Теорема Лебега про мажоровану збіжність; Лема Фату; Нерівність Єнсена.
УМС для дискретних величин Нехай — дискретна випадкова величина, розподіл якої задається функцією ймовірності . Тоді система подій є розбиттям , і , а , де означає математичне сподівання узяте щодо умовної ймовірності .
Якщо випадкова величина також дискретна, то , де — умовна функція ймовірності випадкової величини відносно .
УМС для абсолютно неперервних випадкових величин Нехай - випадкові величини, такі що вектор абсолютно неперервний, і його розподіл задається густиною ймовірності . Введемо умовну щільність , поклавши за визначенням , де - щільність імовірності випадкової величини . Тоді , де функція має вигляд . Зокрема, .
УМС у L2 Розглянемо Простір випадкових величин із скінченним другим моментом . У ньому визначені скалярний добуток , і породжена ним норма .
Множина всіх випадкових величин з скінченним другим моментом і вимірних відносно , де , є підпростором . Тоді оператор , що задається рівністю
,
є оператором ортогонального проектування на . Зокрема:
Умовне математичне сподівання — це найкраще середньо-квадратичне наближення -вимірними випадковими величинами: . Умовне математичне сподівання зберігає скалярний добуток: . Умовне математичне сподівання ідемпотентне: .
Див. також Умовний розподіл
Джерела
Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810