Універсальна алгебра (універсальна алгебра заданої сигнатури) — це множина, що називається носієм алгебри, з набором n-арних алгебраїчних операцій, що називаються сигнатурою алгебри. При цьому вважається що для n-арних операцій не задані ніякі аксіоми, які вони повинні задовільняти (аксіоми задаються відношеннями). Розглядаються тільки загальні властивості, що обумовлені сигнатурою.
Якщо ж для операцій деякої універсальної алгебри задано аксіоми, які вони повинні задовільняти, то «універсальність» втрачається і універсальна алгебра перетворюється на конкретну алгебричну структуру.
Приклади Універсальна алгебра з однією бінарною операцією називається магмою (чи групоїдом).
Властивості Для універсальних алгебр справедлива теорема про гомоморфізм. Якщо — гомоморфізм універсальних алгебр, — ядерна конгруенція (тобто ,
то фактор-структура ізоморфна .
Для універсальних алгебр вивчені супутні структури: група автоморфізмів , моноїд ендоморфізмів , ґратка підалгебр , ґратка конгруенцій , зокрема показано, що для довільної групи і ґраток та існує така універсальна алгебра , що , , .
Див. також Підструктура (математика) Фактор-структура Теорема про гомоморфізми Теореми про ізоморфізми
Джерела