Алгебрична структура (алгебрична система) — в математиці це непорожня множина з заданим на ній набором операцій та відношень, що задовільняють деякій системи аксіом.

Основним завданням абстрактної алгебри є вивчення властивостей аксіоматично заданих алгебричних систем.

Формально: об'єкт де:  — непорожня множина,  — множина алгебричних операцій визначених на  — множина відношень визначених на

Множина називається носієм алгебричної системи. Множини називається сигнатурою алгебричної системи.

Якщо алгебрична система не містить операцій, вона називається моделлю, якщо не містить відношень, то — алгеброю.

Якщо не розглядають ніяких аксіом, яким мають задовільняти операції, то алгебрична система називається універсальною алгеброю заданої сигнатури .

Для алгебричних структур визначають морфізми, як відображення що зберігають операції (дивись гомоморфізм). Таким чином визначають категорії.

Якщо множина має властивості топологічного простору і операції є неперервними, то таку алгебричну систему називають топологічною алгебричною системою (наприклад, топологічна група).

Не всі алгебричні конструкції описуються алгебричними системами, є ще коалгебри, біалгебри, алгебри Гопфа і комодулі над ними і т. д

Алгебричні операції

-арна операція на — це відображення прямого добутку екземплярів множини в саму множину . За визначенням, нуль-арна операція — це просто виділений елемент множини.

Найчастіше розглядають унарні і бінарні операції, як найпростіші. Але для потреб топології, алгебри, комбінаторики вивчають операції більшої арності, наприклад, теорія операд і алгебр над ними (мультиоператорних алгебр).

Список алгебричних систем

Множина може вважатись виродженою алгебричною системою з порожньою сигнатурою.

Групо-подібні (одна бінарна операція) Магма (групоїд) — множина з однією бінарною операцією , зазвичай її називають множенням. Права квазігрупа — магма, в якому можливе праве ділення, тобто рівняння завжди має єдиний роз'вязок Квазігрупа — одночасно права і ліва квазігрупи. Лупа(Петля) — квазігрупа з одиницею (унітарна квазігрупа): Напівгрупа — асоціативна магма: Моноїд — напівгрупа з одиницею (унітарна напівгрупа). Група — моноїд з діленням чи асоціативна лупа: Абелева група — комутативна група: Операцію в абелевій групі часто називають додаванням (+) а нейтральний елемент — нулем.

Кільцеподібні (дві бінарні операції узгоджені дистрибутивністю) Півкільце — подібне до кільця, але без оберненості додавання (комутативний моноїд по додаванню і моноїд по множенню). Кільце — структура с двома бінарними операціями: абелева група по додаванню, моноїд по множенню, виконується дистрибутивний закон: . Комутативне кільце — кільце з комутативним множенням. Цілісне кільце — комутативне кільце без дільників нуля (добуток двох ненульових елементів не рівний нулю). Булеве кільце — кільце, всі елементи якого є ідемпотентами. Воно є комутативним та немає дільників нуля. Кільце з діленням (чи Тіло) — кільце, де ненульові елементи утворюють групу по множенню. Поле — комутативне кільце з діленням.

Модулі (множення тільки на скаляр) Модуль над кільцем — абелева група по додаванню, з дистрибутивною унарною операцією «множення на скаляр» з кільця. Векторний простір — модуль над полем.

Алгебри (додавання, множення на скаляр, множення) Алгебра над кільцем (алгебра) — модуль над комутативним кільцем, що утворює кільце з білінійним множенням. Алгебра над полем — векторний простір с білінійною дистрибутивною операцією множення. Комутативна алгебра — алгебра з комутативним множенням. Асоціативна алгебра — алгебра з асоціативним множенням. Альтернативна алгебра — алгебра з тотожністю альтернативності для множення: Алгебра термів Градуйована алгебра Алгебра Лі — алгебра з антикомутативним множенням (позначаємим ), що задовільняє тотожність Якобі Алгебра Йордана — комутативна алгебра з тотожністю слабої асоціативності: Алгебра Мальцева — антикомутативна алгебра з тотожністю

Алгебра над операдою — одна з найзагальніших алгебричних систем. Сама операда грає роль сигнатури алгебри.

Решітки Напівґратка Ґратка (Решітка) — структура с двома бінарними операціями ∨ і ∧, що є комутативними, асоціативними і задовільняють закон поглинання: a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a. Алгебра Гейтінга Дистрибутивна ґратка Булева алгебра — доповнена дистрибутивна ґратка. Алгебра логіки.

Див. також Ікосіани

Джерела