Теорема Ріса (також теорема Ріса-Фреше) у функціональному аналізі стверджує, що кожен лінійний обмежений функціонал у гільбертовому просторі може бути представлений через скалярний добуток за допомогою деякого елементу.
Твердження Нехай маємо: Гільбертів простір H Лінійний обмежений функціонал у просторі Тоді існує єдиний елемент простору такий, що для довільного виконується .
Також виконується рівність
Доведення ядро лінійного функціоналу є векторним підпростором .
Існування
Якщо , достатньо взяти .
Якщо ж , тоді . Відповідно можна знайти елемент , , позначимо .
Оскільки очевидно маємо за означенням b, що . З лінійності скалярного добутку отримуємо:
Звідси .
Нарешті
де позначено .
Єдиність
Припустимо і елементи Що задовольняють .
Для всіх справджується зокрема звідки й отримується рівність .
Рівність норм Для доведення спершу з нерівності Коші-Буняковського маємо: . Звідси згідно з визначенням норми функціоналу маємо: З іншого боку звідки . Поєднуючи дві нерівності одержуємо
Див. також Теорема Лакса-Мільграма
Джерела