Модуль (математика)

У математиці абсолютне значення або модуль дійсного числа — це невід'ємне значення без врахування його знаку. Позначається .

А саме, , якщо додатне, та , якщо від'ємне значення (у цьому випадку  додатне), а також . Наприклад, абсолютне значення числа 3 дорівнює 3, а абсолютне значення числа  також дорівнює . Абсолютне значення числа також можна розглядати як відстань від нуля.

Узагальнення абсолютного значення для дійсних чисел зустрічається у різноманітних галузях математики. Наприклад, абсолютне значення визначається для комплексних чисел, кватерніонів, упорядкованих кілець, полів і векторних просторів. Модуль тісно пов'язаний з поняттям величини, відстані і норми в різних математичних і фізичних контекстах.

Термінологія та позначення У 1806 році Жан-Роберт Арган увів термін модуль, що позначає французьку одиницю виміру, зокрема, для комплексного абсолютного значення,Oxford English Dictionary, Draft Revision, June 2008Nahin, O'Connor and Robertson , and functions.Wolfram.com. ; for the French sense, see Littré, 1877 і в 1886 році цей термін був запозичений у англійську мову як латинський еквівалент модуляOxford English Dictionary, Draft Revision, June 2008. У цьому сенсі термін абсолютне значення використовувався з 1806 року французькою мовоюLazare Nicolas M. Carnot, Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace, p. 105 at Google Books і з 1857 року англійською мовою.James Mill Peirce, A Text-book of Analytic Geometry at Internet Archive. The oldest citation in the 2nd edition of the Oxford English Dictionary is from 1907. The term absolute value is also used in contrast to relative value. Позначення (з використанням вертикальних рисок) було введено Карлом Вейєрштрассом у 1841 році.Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. , p. 25 Інші назви для абсолютного значення включають числове значення і величину. У мовах програмування та обчислювальних програмних пакетах абсолютне значення зазвичай позначається , або за допомогою інших подібних виразів.

Позначення вертикальних рисок також використовується в ряді інших математичних контекстів: наприклад, при застосуванні до множини, воно означає його потужність; стосовно матриці, воно позначає її визначник. Вертикальні риски позначають абсолютне значення лише для алгебраїчних об'єктів, для яких визначено поняття абсолютного значення, особливо для елемента нормованої алгебри з діленням, наприклад, для дійсного числа, комплексного числа або кватерніона. Тісно пов'язаним, але іншим поняттям, є використання вертикальних рисок для евклідової норми або для простору неперервних функцій вектора в , хоча подвійні вертикальні риски з нижнім індексом знизу ( або ) є більш поширеною і менш неоднозначною формою запису.

Визначення та властивості

Числа Для будь-якого дійсного числа абсолютне значення або модуль позначається і визначається якMendelson, p. 2 .

Таким чином, абсолютне значення числа або додатнє або нуль, але ніколи не є від'ємним. Якщо число від'ємне , то його модуль завжди додатний .

В аналітичній геометрії, абсолютне значення дійсного числа — це відстань від цього числа до нуля уздовж дійсної прямої, а в більш загальному сенсі, абсолютне значення різниці двох дійсних чисел — це відстань між ними. Дійсно, поняття абстрактної функції відстані в математиці можна розглядати як узагальнення абсолютного значення різниці (див. «Відстань» нижче).

Оскільки символ квадратного кореня представляє собою єдиний невід'ємний квадратний корінь (від числа більшого за 0 або 0), то це означає, що

еквівалентно наведеному вище означенню, і може використовуватися як альтернативне означення абсолютного значення для дійсних чисел., p. A5

Абсолютне значення має чотири наступні фундаментальні властивості ( і  — дійсні числа), які використовуються для узагальнення даного поняття для інших областях:

| style="width: 250px" | | невід'ємність

|додатна визначеність

|мультиплікативність

| , зокрема нерівність трикутника

Невід'ємність, додатна визначеність та мультиплікативність очевидні з означення. Щоб побачити, що має місце напівадитивність, спочатку зауважимо, що одна з двох альтернатив вибору для як або гарантує, що Тепер, оскільки та , то, залежно від значення , для всіх дійсних виконується умова . Отже, , що й потрібно було показати. (Для узагальнення цих аргументів на випадок комплексних чисел див. «Доведення нерівності трикутника для комплексних чисел».)

Нижче наведено деякі властивості модуля, які є наслідками, що випливають із означення або з вищезазначених чотирьох властивостей:

| style="width:250px" | |ідемпотентність (абсолютне значення абсолютного значення є абсолютним значенням) |- | style="width:250px" | |парність (симетричність графіка)

| (еквівалент додатно визначеності)

|нерівність трикутника (еквівалентна напівадитивності) |- | (якщо ) |збереження ділення (еквівалентно мультиплікативності)

|обернена нерівність трикутника (еквівалентна напівадитивності)

Дві інші корисні властивості щодо нерівностей:

Дані властивості можуть використовуватися для розв'язування нерівностей, пов'язаних із абсолютним значенням . Наприклад:

Абсолютне значення, як «відстань від нуля», використовується для визначення між довільними дійсними числами, є стандартною метрикою на множині дійсних чисел.

Комплексні числа Оскільки множина комплексних чисел не є впорядкованою, означення, наведене вище для дійсного абсолютного значення, не можна безпосередньо використовувати у випадку комплексних чисел. Однак геометричне тлумачення абсолютного значення дійсного числа як його відстані від 0 можна узагальнити. Абсолютне значення комплексного числа визначається евклідовою відстанню від його відповідної точки в комплексній площині до початку координат. Цю відстань можна обчислити, використовуючи теорему Піфагора: для будь-якого комплексного числа

де і  — дійсні числа, абсолютне значення або модуль числа позначається і визначається як

де і позначають дійсну та уявну частини числа  відповідно. Якщо уявна частина дорівнює нулю, то це означення збігається з означенням абсолютного значення дійсного числа .

Якщо комплексне число задано у полярних координатах:

де і  — (або фаза) числа , то його абсолютне значення дорівнює

Оскільки добуток будь-якого комплексного числа та його комплексно-спряженого (з тим же абсолютним значенням) — це завжди невід'ємне дійсне число , то абсолютне значення комплексного числа можна зручно виразити як

що нагадує альтернативне означення для дійсних чисел:

.

Для комплексного абсолютного значення також виконуються чотири основні властивості, що наведені вище для дійсного абсолютного значення.

Мовою теорії груп властивість мультиплікативності можна перефразувати наступним чином: абсолютне значення — це груповий гомоморфізм з комплексних чисел в групу з множенням додатних дійсних чисел..

Важливо, що властивість («нерівність трикутника») узагальнюється на будь-який скінченний набір з комплексних чисел наступним чином:

Ця нерівність застосовується також у випадку нескінченних індексованих наборів за умови, що нескінченний ряд є абсолютно збіжним. Якщо інтеграл Лебега розглядати як неперервний аналог підсумовування, то дана нерівність аналогічно виконується для комплекснозначних, вимірних функцій при інтегруванні над вимірною підмножиною :

(Це включає функції, інтегровані за Ріманом, на відрізку , як частковий випадок.)

Доведення комплексної нерівності трикутника Нерівність трикутника, що визначена співвідношенням , можна довести, використавши три прості властивості комплексних чисел. А саме, для кожного комплексного числа :

(i): існує таке, що і; (ii): . Також для індексованого набору комплексних чисел :

.

Зокрема,

(iii): якщо , то .

Доведення : Виберемо таке, що та (підсумовування по ). Тоді наступні обчислення приводять до бажаної нерівності: .

З даного доведення випливає, що рівність виконується тотожно в тому випадку, якщо всі  — це невід'ємні дійсні числа, що, в свою чергу, виконується тотожно, якщо всі ненульові мають один і той самий , тобто для комплексної константи і дійсних констант , .

Оскільки функція є вимірною, то є також вимірною функцією, то доведення нерівності проводиться аналогічно, лише замінюючи на та на .

Функція абсолютного значення Функція дійсного абсолютного значення є неперервною у всіх точках. Вона диференційована у всіх точках, за винятком . Вона є монотонно спадною на інтервалі і монотонно зростаючою на інтервалі . Оскільки дійсне число і його протилежне мають однакові абсолютні значення, то вона є парною функцією, а отже, не має оберненої. Функція дійсного абсолютного значення є кусково-лінійною та опуклою.

Дійсна та комплексна функції абсолютного значення є ідемпотентними.

Зв'язок із функцією sign Функція модуля дійсного числа вказує на його значення незалежно від його знаку, тоді як функція sign визначає знак числа незалежно від його значення. Наступні співвідношення показують зв'язок між цими двома функціями:

а також при ,

Похідна Функція абсолютного значення має похідну для кожного , але не є диференційованою при . Похідна функції для задається :Bartel and Sherbert, p. 163

Субдиференціал функції у точці  — це числовий проміжок .Peter Wriggers, Panagiotis Panatiotopoulos, eds., New Developments in Contact Problems, 1999, , p. 31–32

Комплексна функція абсолютного значення є неперервною у всіх точках, але вона ніде не є комплексно-диференційованою, оскільки не виконуються умови Коші—Рімана.

Друга похідна функції відносно дорівнює нулю у всіх точка, крім нуля, де вона не існує. Другу похідну як можна розглядати як двократну дельта-функцію Дірака. Первісна Первісною (невизначеним інтегралом) функції дійсного абсолютного значення є

де — довільна константа інтегрування. Це не є , оскільки такі первісні можуть існувати тільки для комплексно-диференційованих (голоморфних) функцій, а комплексна функції абсолютного значення не є такою.

Відстань Див. також Метричний простір

Абсолютне значення тісно пов'язане з поняттям відстані. Як зазначалося вище, модуль дійсного або комплексного числа — це відстань від даного числа до початку координат вздовж прямої дійсних чисел (для дійсних чисел), або в комплексній площині (для комплексних чисел) і, у загальному випадку, абсолютне значення різниці двох дійсних чи комплексних чисел — це відстань між ними.

Звичайна евклідова відстань між двома точками та у евклідовому -вимірному просторі визначається як

Це можна розглядати як узагальнення, оскільки та є дійсними числами, тобто в одновимірному просторі, відповідно до альтернативного означення модуля,

а для комплексних чисел та , тобто у двовимірному просторі, модуль визначається наступним чином:

Усе вищесказане свідчить про те, що "абсолютна значення" — відстань для дійсних та комплексних чисел - узгоджується з стандартною евклідовою відстанню, яку вони наслідують у результаті їх розгляду як одно- та двовимірні евклідові простори, відповідно.

Такі властивості абсолютного значення різниці двох дійсних або комплексних чисел як невід'ємність, тотожність нерозрізних, симетричність і нерівність трикутника, які були наведені вище, можуть слугувати підставою для більш загального поняття функції відстані наступним чином:

Дійснозначна функція на множині називається метрикою (або функцією відстані) на множині , якщо вона задовольняє наступні чотири аксіоми:Ці аксіоми не є мінімальними; наприклад, невід'ємність може бути отримана з інших трьох аксіом: .

|style="width:250px" | |невід'ємність

|тотожність нерозрізних

|симетричність

|нерівність трикутника

Узагальнення Упорядковані кільця Наведене вище означення абсолютного значення для дійсних чисел можна узагальнити для будь-якого впорядкованого кільця. Тобто, якщо  — елемент упорядкованого кільця , то абсолютне значення елемента (позначається як ) визначається наступним чином:Mac Lane, p. 264 .