В математиці, зокрема в теорії множин, пере́тином двох множин A і B називається множина, яка складається з усіх елементів множини A, які водночас належать і множині B та навпаки (всі елементи множини B, які належать A) і тільки них. Вона і позначається як "A∩B та є підмножиною обох.
Формально:
Якщо одна множина є підмножиною другої, то їхній перетин дорівнює першій множині:
Якщо перетин двох множин A і B є порожнім, тобто не містить спільних елементів, то кажуть, що такі множини не перетинаються.
Цей факт позначається як A∩B = Ø.
Приклади: {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}. {1, 2} ∩ {3, 4} = Ø.
Алгебраїчні властивості Перетин множин є бінарною операцією на довільному булеані ; Операція перетину множин комутативна:
Операція перетину множин асоціативна:
Універсальна множина є нейтральним елементом операції перетину множин:
З вищеперечислених властивостей випливає, що булеан з операцією перетину множин є абелевою групою; Операція перетину множин ідемпотентна:
Якщо — порожня множина, то
Перетин довільної кількості множин В загальному випадку, якщо множина M є непорожньою множиною, елементами якої в свою чергу є множини. Тоді елемент x є елементом перетину M тоді й тільки тоді, коли для кожного елемента A з M, x є елементом A.
В символьній формі:
Наприклад, множина A∩B∩C є перетином такої колекції множин {A,B,C}.
Позначення перетину довільної кількості множин такі: або
Остання нотація може бути узагальнена до
що позначає перетин колекції множин {Ai : i ∈ I}. Тут I - непорожня множина, і Ai - множина для кожного i в I.
В цьому випадку I є індексна множина (тобто множина індексів, натуральних чисел), і можна застосувати нотацію, аналогічну нотації для сум:
Також можна писати "A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ...
Див. також Кон'юнкція Переріз множини дійсних чисел
Джерела