Універсальна множина (універсум) — в теорії множин така множина U, для якої перетин цієї множини з будь-якою множиною X збігається з цією множиною X. Універсальна множина єдина.
Формально: U — універсальна множина ⇔ ∀X: X∩U=X.
Таким чином, будь-яка множина X повністю міститься в універсальній множині U. Виходячи з цього можна дати таке визначення універсальної множини: якщо в рамках деякої задачі розглядаються тільки підмножини деякої фіксованої множини U, то сама ця множина U називається універсальною множиною.
Не слід плутати поняття універсальної множини з поняттям множини всіх множин в наївній теорії множин (див. Парадокс Расселла). Існування такої множини всіх множин забороняється аксіоматичною теорією множин.
В алгебрі множин універсальна множина є одиничним елементом.
Також для будь-якої множини X справедливо: X∪U=U.
Властивості універсальної множини Будь-який об'єкт, якою б не була його природа є елементом універсальної множини.
Зокрема, універсальна множина містить як один з елементів сама себе.
Будь-яка множина є підмножиною універсальної множини.
Зокрема, універсальна множина є власною підмножиною.
Об'єднання універсальної множини з будь-якою іншою множиною дорівнює універсальній множині.
Зокрема, об'єднання універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
Перетин універсальної множини з іншою множиною дорівнює множині, що перетинається з універсальною.
Зокрема, перетин універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
Виключення універсальної множини з будь-якої іншої множини дорівнює порожній множині.
Зокрема, виключення універсальної множини із самої себе дорівнює порожній множині.
Виключення будь-якої множини з універсальної множини дорівнює доповненню цієї множини.
Доповненням універсальної множини є порожня множина.
Симетрична різниця універсальної множини з будь-якою множиною дорівнює доповненню останної множини.
Зокрема, симетрична різниця універсальної множини із собою дорівнює порожній множині.
Див. також Аксіоматика теорії множин Парадокс Расселла Універсум (математика) Універсум фон Неймана
Джерела