Компози́ція (суперпозиція) фу́нкцій (відображень) в математиці приймає дві функції, і і повертає нову функцію . Тобто функція після застосування до . Вираз вимовляється як «композиція і ».
Зворотна композиція застосовує операцію у протилежному порядку: спочатку , а потім . Інтуїтивно зворотну композицію можна уявити як процес ланцюгового з'єднання, у якому результат функції стає вхідними даними для функції .
Композиція функцій є окремим випадком композиції відношень, яка також іноді позначається символом . Як наслідок, усі властивості композиції відношень є справедливими й для композиції функцій, наприклад асоціативність.
Приклади
Композиція функцій на скінченній множині: якщо , а , то , як показано на рисунку. Композиція функцій на нескінченній множині: якщо (де множина всіх дійсних чисел) задана як , а задана як , тоді: Якщо висота літака в момент часу становить , а атмосферний тиск на висоті дорівнює , то — це тиск навколо літака в момент часу . Функції, визначені на скінченних множинах, які змінюють порядок своїх елементів (наприклад, перестановки), можуть бути об'єднані на тій самій множині; у такому разі це буде композиція перестановок.
Властивості Композиція функцій завжди є асоціативною — ця властивість успадкована від композиції відношень. Тобто, якщо функції , і можна композиційно поєднати, то . Оскільки дужки не змінюють результату, їх зазвичай опускають.
У строгому сенсі композиція має зміст лише тоді, коли кодомен збігається з доменом ; у ширшому сенсі достатньо, щоб перший був невласною підмножиною другого. Крім того, часто зручно неявно обмежувати область визначення так, щоб набувала значень лише з області визначення . Наприклад, композицію функцій , заданої формулою та , заданої формулою можна визначити на інтервалі .
Функції і називають такими, що комутують між собою, якщо . Комутативність є спеціальною властивістю, притаманною лише окремим функціям і часто лише за особливих умов. Наприклад, |x| + 3 = |x + 3| лише тоді, коли . На рисунку наведено ще один приклад.
Композиція взаємно однозначних (ін'єктивних) функцій завжди є взаємно однозначною. Так само композиція сюр'єктивних функцій завжди є сюр'єктивною. Звідси випливає, що композиція двох бієкцій також є бієкцією. Обернена функція до композиції (за умови оборотності) має властивість .
Похідні композицій диференційовних функцій знаходять за допомогою правила ланцюга. Вищі похідні таких функцій задаються формулою Фаа ді Бруно.
Композицію функцій іноді описують як різновид множення у просторі функцій, однак вона має зовсім інші властивості, ніж поточкове множення функцій (зокрема, композиція не є комутативною).
Композиційні моноїди
Припустімо, що маємо дві (або більше) функції з однаковою областю визначення та кодоменами; такі функції часто називають перетвореннями. Тоді можна утворювати ланцюжки перетворень, складених разом, наприклад . Такі ланцюжки мають алгебраїчну структуру моноїда, який називають або (значно рідше) композиційним моноїдом. Загалом моноїди перетворень можуть мати надзвичайно складну структуру. Одним із особливо показових прикладів є . Множину всіх функцій називають або симетричною напівгрупою на . (Фактично можна визначити дві напівгрупи залежно від того, чи операцію напівгрупи задають як ліву або праву композицію функцій).
Якщо задані перетворення є бієктивними (а отже, оборотними), то множина всіх можливих комбінацій цих функцій утворює групу перетворень (також відому як ); при цьому кажуть, що ця група породжена даними функціями.
Множина всіх бієктивних функцій (які називають перестановками) утворює групу відносно композиції функцій. Це симетрична група, яку інколи також називають композиційною групою. Фундаментальний результат теорії груп — теорема Келі — по суті стверджує, що будь-яка група насправді є підгрупою деякої симетричної групи (з точністю до ізоморфізму).
У симетричній напівгрупі (усіх перетворень) також існує слабше, неєдине поняття оберненого елемента (так званий псевдообернений елемент), оскільки симетрична напівгрупа є .
Функціональні степені
Якщо , то функція може композиційно поєднуватися сама з собою; це іноді позначають як . Тобто:
Загальніше, для будь-якого натурального числа -й функціональний степінь можна визначити індуктивно як . Таке позначення було запроваджене та Джоном Фредеріком Вільямом Гершелем. Багаторазову композицію функції самої з собою називають ітерацією функції. За домовленістю визначають як тотожне відображення на області визначення , тобто . Якщо і функція має обернену функцію , то від'ємні функціональні степені для визначаються як відповідний степінь оберненої функції: .
Примітка: Якщо набуває значень у кільці (зокрема для дійснозначних або комплекснозначних ), можливе непорозуміння, оскільки може також означати -кратний добуток , наприклад . Для тригонометричних функцій зазвичай мають на увазі саме друге значення, принаймні для додатних показників. Наприклад, у тригонометрії цей верхній індекс позначає стандартне піднесення до степеня, якщо він вживається з тригонометричними функціями:
.
Однак для від’ємних показників (особливо −1) воно зазвичай означає обернену функцію, наприклад .
У деяких випадках, коли для заданої функції рівняння має єдиний розв'язок , цю функцію можна визначити як з і записати .
Загальніше, якщо для деякого натурального числа рівняння має єдиний розв'язок, тоді можна визначити як .
За додаткових обмежень цю ідею можна узагальнити так, що кількість ітерацій стає неперервним параметром; у цьому разі така система називається і задається через розв'язки . Ітеровані функції та потоки природно виникають у вивченні фракталів і динамічних систем.
Щоб уникнути двозначності, деякі математики використовують знак для позначення саме композиційного змісту, записуючи для -ї ітерації функції , наприклад, означає . З тією ж метою Бенджамін Пірс використовував позначення , тоді як та натомість пропонували позначення .
Альтернативні позначення Багато математиків, зокрема в теорії груп, опускають знак композиції, записуючи замість .
У середині ХХ століття деякі математики запровадили постфіксну нотацію, записуючи замість та замість . У багатьох випадках така нотація є природнішою за префіксну, зокрема в лінійній алгебрі, коли є вектором-рядком, а і позначають матриці, а композиція здійснюється множенням матриць. Порядок тут має вирішальне значення, оскільки композиція функцій загалом не є комутативною. Послідовне застосування перетворень праворуч узгоджується з напрямом читання зліва направо.
Математики, які використовують постфіксну нотацію, можуть писати «», маючи на увазі: спочатку застосувати , а потім , відповідно до порядку появи символів у постфіксній нотації; через це позначення «» стає неоднозначним. У комп’ютерних науках для цього можуть писати «», чітко розрізняючи порядок композиції. Щоб відрізнити оператор лівої композиції від текстової крапки з комою, у Z-нотації для лівої композиції відношень. Оскільки всі функції є бінарними відношеннями, коректно використовувати «товсту» крапку з комою і для композиції функцій (докладніше див. статтю про композицію відношень).
Оператор композиції
Для заданої функції , оператор композиції визначають як оператор, що відображає функції у функції за формулою Оператори композиції вивчаються в теорії операторів.
У мовах програмування
Композиція функцій у тій чи іншій формі трапляється в багатьох мовах програмування.
Багатозмінні функції Для багатозмінних функцій можлива часткова композиція. Функцію, що виникає тоді, коли деякий аргумент функції замінюють функцією , у деяких контекстах комп'ютерної інженерії називають композицією і та позначають
Коли є простою сталою , композиція вироджується у (часткове) підставлення значення; результат також називають звуженням або кофактором.
Загалом композиція багатозмінних функцій може залучати кілька інших функцій як аргументи, як, наприклад, у визначенні примітивно-рекурсивної функції. Нехай — -арна функція, а — -арних функцій. Тоді композицією з є -арна функція
Іноді це називають узагальненою композицією або суперпозицією f з . Згадану раніше часткову композицію лише за одним аргументом можна отримати як окремий випадок цієї загальнішої схеми, поклавши всі функції-аргументи, крім однієї, відповідно вибраними проєкційними функціями. У цій узагальненій схемі можна розглядати як одну векторну (кортеж-значну) функцію; у такому разі це точно відповідає стандартному означенню композиції функцій.
Множина фінітарних (скінченноарних) операцій на деякій основній множині X називається клоном, якщо вона містить усі проєкції та є замкненою відносно узагальненої композиції. Клон зазвичай містить операції різних арностей. Поняття комутації також має цікаве узагальнення для багатозмінного випадку; функція f арності n комутує з функцією g арності m якщо f є гомоморфізмом, що зберігає g, і навпаки, тобто:
Унарна операція завжди комутує сама з собою, проте це не обов'язково так для бінарної (або вищої за арністю) операції. Бінарна (або вищої арності) операція, що комутує сама з собою, називається .
Узагальнення Композицію можна узагальнити на довільні бінарні відношення. Якщо і — два бінарні відношення, то їхня композиція визначається як
Розглядаючи функцію як окремий випадок бінарного відношення (а саме — функціональне відношення), бачимо, що композиція функцій задовольняє означення композиції відношень. Малий кружок використовується як інфіксне позначення композиції як для відношень, так і для функцій. Однак у разі композиції функцій порядок запису в тексті є оберненим, щоб наочно відобразити послідовність виконання операцій.
Композиція визначається так само і для часткових функцій, а теорема Келі має свій аналог — .
Категорія множин із функціями як морфізмами є прототиповою категорією. Аксіоми категорії фактично натхненні властивостями (а також самим означенням) композиції функцій. Структури, задані композицією, аксіоматизуються та узагальнюються в теорії категорій через поняття морфізму як категоріально-теоретичної заміни функцій. Обернений порядок композиції у формулі застосовується і для композиції відношень через обернені відношення, а отже і у теорії груп. Такі структури утворюють .Стандартна «основа» математики починається з множин та їхніх елементів. Однак можливий і інший початок — аксіоматизація не елементів множин, а функцій між множинами. Це можна здійснити, використовуючи мову теорії категорій і універсальні конструкції.
… відношення належності для множин часто можна замінити операцією композиції функцій. Це приводить до альтернативної основи математики на базі категорій — зокрема, на категорії всіх функцій. Значна частина математики є динамічною, оскільки вона має справу з морфізмами об'єкта в інший об'єкт того самого типу. Такі морфізми (як-от функції) утворюють категорії, і тому категоріальний підхід добре відповідає завданню впорядкування та осмислення математики. Саме це, по суті, і має бути метою належної філософії математики.
- ,
Типографія Символ композиці кодується як ; подібні за виглядом символи наведено у статті про символ градуса. у TeX він записується як \circ.
Див. також Композиція відношень — графічна техніка для композиції функцій Комбінаторна логіка — формальна аксіоматизація операції композиції
Випадкова величина — розподіл функції випадкової величини
Функційне рівняння Функція вищого порядку
Ітерація функції Лямбда-числення
Коментарі
Примітки
Зовнішні посилання
"Композиція функцій" Брюса Етвуда, , 2007.