Фелікс Християн Кляйн (; 25 квітня 1849 — 22 червня 1925) — німецький математик, відомий своїми роботами з теорії груп, теорії функцій, неевклідової геометрії, а також про зв'язки між геометрією і теорією груп. Його «Ерлангенська програма» 1872 року, що класифікувала різні геометрії на основі їхніх груп симетрії, справила значний вплив на більшу частину тодішніх математиків.

Життєпис Фелікс Кляйн народився в Дюссельдорфі, в родині чиновника. Закінчив гімназію в Дюссельдорфі, потім навчався математики та фізики в Боннському університеті. Спочатку планував стати фізиком. У цей час Юліус Плюккер завідував відділенням математики та експериментальної фізики в Бонні, і Кляйн став його асистентом. Однак головним інтересом Плюккера була геометрія. Під його керівництвом Кляйн став доктором в 1868 році.

У 1868 році Плюккер помер. Кляйн здійснив поїздку по Німеччині, знайомиться з Клебшем та іншими великими математиками. Особливий вплив на нього зробив Софус Лі.

У 1870 році, у найневдаліший час, почала назрівати Французько-прусська війна, Кляйн разом із Лі приїхав у Париж, де познайомився з Дарбу і Жорданом. Після початку війни він повернувся до Німеччини, де мало не став жертвою супутника війни — епідемії тифу.

У 1872 році Кляйн за рекомендацією Клебша став професором Ерлангенского університету. Опублікував знамениту «Ерлангенську програму» і відразу здобув загальноєвропейське визнання.

У 1875 році Кляйн — професор Вищої технічної школи в Мюнхені. Одружився з Анні Гегель, онучкою знаменитого філософа.

Спільно з Адольфом Маєром став головним редактором журналу «Mathematische Annalen» (1876).

У 1880 році перейшов у Лейпцизький університет.

У 1882—1884 роках Кляйн серйозно хворів через перевтому. Кляйн переорієнтував свою гігантську енергію на педагогічну й громадську роботу.

У 1888 році обійняв посаду професора Геттінгенського університету. Став членом Геттінгенської академії наук. Вів яскраві, глибокі та змістовні факультативні курси з найрізноманітніших предметів, від теорії чисел до технічної механіки. Слухачі курсів його приїжджали з усіх кінців світу.

На початку XX століття Кляйн взяв активну участь у реформі шкільної освіти, автор та ініціатор низки досліджень стану справ із викладанням математики в різних країнах.

Кляйн сприяв створенню при Геттінгенському університеті системи науково-дослідних інститутів для прикладних досліджень у різних технічних областях. Брав участь у виданні повного зібрання творів Гауса і першої Математичної енциклопедії. Представляв Геттінгенський університет в парламенті. Треба відзначити, що з початком Першої світової війни Кляйн не брав участі в численних тоді шовіністичних акціях.

У 1924 році було широко відзначено 75-річчя Кляйна. Наступного року ті ж газети опублікували його некролог.

Наукова діяльність

До середини XIX століття геометрія розділилася на безліч погано узгоджених розділів: евклідова, сферична, гіперболічна, проєктивна, афінна, ріманова, багатовимірна, комплексна тощо; на рубежі століть до них додалися ще неевклідова геометрія і топологія.

Кляйну належить ідея алгебраїчної класифікації різних галузей геометрії згідно з тими класами перетворень, які для цієї геометрії дають «рівні» фігури. Точніше кажучи, один розділ геометрії відрізняється від іншого тим, що їм відповідають різні групи перетворень простору, а об'єктами вивчення виступають інваріанти таких перетворень.

Наприклад, класична Евклідова геометрія вивчає властивості фігур і тіл, що зберігаються при рухах без деформації; їй відповідає група, що містить обертання, перенесення і їхні поєднання. Проєктивна геометрія може вивчати конічні перетини, але не має справи з колами або кутами, тому що кола і кути не зберігаються за проєктивних перетворень. Топологія досліджує інваріанти довільних неперервних перетворень (до речі, Кляйн відзначив це ще до того, як народилася топологія). Вивчаючи алгебраїчні властивості груп перетворень, ми можемо відкрити нові глибокі властивості відповідної геометрії, а також простіше довести старі. Приклад: медіана є афінний інваріант; якщо в рівносторонньому трикутнику медіани перетинаються в одній точці, то і в будь-якому іншому це буде вірно, тому що будь-який трикутник можна афінним перетворенням перевести в рівносторонній і назад.

Кляйн висловив усі ці ідеї у виступі 1872 року «Vergleichende Betrachtungen tiber neuere geometrische Forschungen» («Порівняльний розгляд нових геометричних досліджень»)Ерлангенська програма німецькою, що отримав назву «Ерлангенської програми». Вона привернула увагу математиків всієї Європи тим, що не тільки давала нове подання і предмет геометрії, а й окреслила ясну перспективу подальших досліджень. На новому рівні повторилося відкриття Декарта: алгебризація геометрії дозволила отримати результати, для старих інструментів вкрай важкі або зовсім недосяжні. Вплив «Ерлангенської програми» на подальший розвиток геометрії був надзвичайно великий.

У наступні три роки Кляйн опублікував понад 20 робіт з неевклідової геометрії, теорії груп Лі, теорії багатогранників і еліптичних функцій. Одним з найважливіших його досягнень стало перше доведення несуперечності гіперболічної геометрії; для цього він збудував її інтерпретацію в евклідовому просторі (дивись модель Кляйна). Він побудував приклад односторонньої поверхні — «пляшку Кляйна».

Кляйн надрукував низку робіт про розв'язування рівнянь 5-го, 6-го і 7-го ступенів, про інтегрування диференціальних рівнянь, про абелеві функції, про неевклідові геометрії. Його праці друкувалися головним чином у «Mathematische Annalen», редактором яких він з 1875 був разом з Адольфом Маєром. Пізніше він досліджував автоморфні функції, теорію дзиґи.

Лекції Кляйна мали велику популярність, багато з них були неодноразово перевидані і перекладені багатьма мовами. Він також опублікував кілька монографій з аналізу, які зводять воєдино досягнуті на той момент результати.

Ще за життя Кляйна вийшов тритомник його Зібрання творів.

Роботи

Статті Felix Klein, Gesammelte mathematische Abhandlungen, 3 Bde. Felix Klein, Vergleichende Betrachtungen über geometrische Forschungen, Erlanger Programm 1872

Лекції з загальних питань Ф. Кляйн. Лекції про розвиток математики в XIX сторіччі. (Нім.: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert) Том первый. М.-Л., ГОНТИ, 1937, 432 с. Том второй. М.-Ижевск, 2003, 239 с. Ф. Кляйн., Елементарна математика з точки зору вищої. (Нім.: Elementarmathematik vom höheren Standpunkt, 3 Bde.) Том первый. Арифметика. Алгебра. Анализ. М., Наука, 1987, 432 с. Том второй. Геометрия., М., Наука, 1987, 416 с. Том третий. Графики функций. Плоские кривые. (Не переведен?)

Лекції з геометрії Ф. Кляйн. Высшая геометрия. М.-Л., ГОНТИ, 1939, 400 с (нем.: Vorlesungen über höhere Geometrie, mit Wolfgang Blaschke) Ф. Кляйн. Неевклидова геометрия . М.-Л., ОНТИ, 1936, 356 с (нем.: Vorlesungen über Nichteuklidische Geometrie, mit Walther Rosemann) Felix Klein, Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie: eine Revision der Principien. Vorlesung, gehalten waehrend des Sommersemesters 1901

Лекції з алгебри і теорії чисел Ф. Кляйн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М., 1989, 336 с (Нім.: Vorlesungen über das Ikosaeder) Felix Klein, Ausgewaehlte Kapitel der Zahlentheorie

Лекції з теорії функцій Felix Klein, Лекції з геометричної теорії функцій. Геттинген, зимовий семестр 1880/81 Конспект: Einleitung in die geometrische Funktionentheorie. Видання: Felix Klein, Funktionentheorie in geometrischer Behandlungsweise. Leipzig: Teubner, 1987 Felix Klein, Über Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen Felix Klein, Theorie der elliptischen Modulfunktionen, mit Robert Fricke. Felix Klein, Ausgewaehlte Kapitel aus der Theorie der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Bd. 1, Bd. 2 Felix Klein, Ueber lineare differentialgleichungen der zweiten ordnung. Felix Klein Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion

Лекції з механіки Ф. Кляйн. Математическая теория волчка. М.-Ижевск, 2003, 69 с. Felix Klein, Arnold Sommerfeld. Ueber die Theorie des Kreisels. 1897—1910. Heft 1-2, Heft 3-4.

Названі на честь Кляйна Пляшка Кляйна 4-група Кляйна Проєктивна модель Ресторація у Львові (Проспект Свободи, 25) «Фляшка Кляйна»

Див. також 12045 Кляйн — астероїд, названий на честь науковця.

Примітки

Бібліографія Выгодский М. Я. Феликс Кляйн и его историческая работа. См. в книге: Кляйн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Том I. М.-Л., ГОНТИ, 1937, 432 с. Гиндикин С. Феликс Кляйн. «Квант», 1975, № 12. Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. Москва: Наука. Том 1 Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. 1978. Том 2 Геометрия. Теория аналитических функций. 1981. Яглом И. М. Феликс Кляйн и Софус Ли. Москва: Знание, 1977.

Посилання

Феликс Кляйн на Math.ru.

Klein's Web Pages