Тіло — алгебрична структура, всі елементи якої утворюють абелеву групу щодо дії додавання, а всі елементи, крім нуля,— мультиплікативну групу і, крім того, обидві групові операції зв'язані між собою законами дистрибутивності. Якщо множення в тілі комутативне, то тіло називається комутативним або полем.
Формальне визначення Множина з заданими на ній алгебраїчними операціями додавання і множення називається тілом, якщо виконуються умови:
(комутативність додавання); і (асоціативність множення); Існують такі елементи , що для довільного виконується (існування нейтральних елементів); і (дистрибутивність); Для довільного існують , такі, що і ( існування зворотного елемента).
Остання умова виділяє тіло як особливу структуру серед кілець — тіло є кільцем із діленням.
Властивості
Теорема Веддерберна — довільне скінченне тіло є скінченним полем. Кожне тіло є алгеброю з діленням над своїм центром. Зокрема тіло є центральною простою алгеброю над своїм центром. Якщо S є простим модулем над кільцем R, то множина всіх ендоморфізмів S є тілом. Довільне тіло можна задати в такий спосіб за допомогою деякого простого модуля
Приклади Тіло кватерніонів . Тіло дісних чисел
Див. також Поле (алгебра) Теорема Сколема — Нетер Центральна проста алгебра
Джерела