Кільце називається простим, якщо і не має двосторонніх ідеалів, відмінних від і .
Приклади і теореми Розглянемо кільце таке, що , і адитивна група має простий порядок. Тоді кільце — просте, оскільки в немає власних підгруп. Асоціативне комутативне кільце з одиницею є полем тоді і тільки тоді, коли — просте кільце. Припустимо спершу, що задовольняє всі умови теореми і є простим. Нехай деякий ненульовий елемент. Тоді є ненульовим ідеалом оскільки . Зважаючи на простоту кільця одержуємо . Звідси випливає існування елемента , такого що . Навпаки, припустимо — деяке поле і його ненульовий ідеал. Оскільки цей ідеал містить деякий ненульовий елемент він також містить для всіх , тобто , що й доводить простоту. Якщо — поле, — додатне ціле число, то кільце матриць — просте.
Для доведення спершу позначимо матриці в яких на позиції стоїть одиничний елемент поля, а на інших позиціях нулі. Тоді одиничну матрицю можна записати . Нехай тепер — деякий ненульовий ідеал, а — ненульовий елемент. Виконується рівність . Для деякої пари виконується . Оскільки елементи є базисними то можна записати . Очевидно . Звідси одержуємо, що і тому також . Оскільки для всіх згідно властивостей множення базисних елементів , то всі базистні елементи належать ідеалу і відповідно
Центр простого кільця з одиницею є полем і кожне просте кільце є центральною простою алгеброю над своїм центром. Нехай . Якщо цей лемент не є оборотним, то Але тоді є нетривіальним двостороннім ідеалом. Також для довільного виконується рівність . Тобто і центр кільця є полем.
Теорема Веддерберна — Артіна
Нехай — просте кільце Артіна. Тоді кільце ізоморфне кільцю всіх матриць порядку над деяким тілом. При цьому визначено однозначно, а тіло з точністю до ізоморфізму. Навпаки, для будь-якого тіла кільце є простим кільцем Артіна.
Література Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003. Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961. Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.