У математиці степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду: де an — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид:
Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.
Операції зі степеневими рядами Додавання і віднімання Для степеневих рядів f і g навколо точки c, можна визначити їх суму і різницю. Якщо:
тоді
Множення і ділення Для множення і ділення одержуються формули:
Послідовність називається конволюцією послідовностей і .
Для ділення виконується:
і значення знаходяться з формул конволюції.
Збіжність степеневих рядів Степеневий ряд називається збіжним в точці x0, якщо збіжним є відповідний числовий ряд . Степеневий ряд є збіжним в деякій області, якщо він є збіжним в кожній точці цієї області.
Ознаки збіжності Для степеневих рядів є декілька теорем, що описують умови і характер їх збіжності.
Перша теорема Абеля: Нехай ряд є збіжним в точці . Тоді цей ряд є абсолютно збіжним в кругу рівномірно по на будь-якій компактній підмножині цього круга. Навпаки, якщо степеневий ряд є розбіжним при , він є розбіжним при всіх , таких що . З першої теореми Абеля також випливає, що існує такий радіус круга (можливо, нульовий або нескінченний), що при ряд є абсолютно збіжним (і збіжність є рівномірною по на компактних підмножинах круга ), а при ряд є розбіжним. Це значення називається радіусом збіжності ряду, а круг — кругом збіжності.
Формула Коші — Адамара: Значення радіусу збіжності степеневого ряду може бути обчислено за формулою:
Нехай і — два степеневі ряди з радіусами збіжності і . Тоді
Якщо у ряду вільний член нульовий, тоді
Питання про збіжність ряду в точках межі круга збіжності потребує додаткового аналізу: Ознака Д’Аламбера: Якщо при і виконано нерівність
тоді степеневий ряд є абсолютно збіжним в усіх точках кола і збіжність є рівномірною по . Ознака Діріхле: Якщо всі коефіцієнти степеневого ряду додатні і послідовність монотонно збігається до нуля, тоді цей ряд є збіжним в усіх точках кола , окрім, можливо, точки . Друга теорема Абеля:Нехай степеневий ряд є збіжним в точці . Тоді він є рівномірно збіжним по на відрізку, що сполучає точки 0 і .
Похідна і інтеграл Якщо деяка функція рівна сумі степеневого ряду в деякій області то її похідну і інтеграл можна визначити почленно продиференціювавши і проінтегрувавши доданки степеневого ряду:
Радіуси збіжності обох цих рядів дорівнюють радіусу початкового ряду.
Степеневі ряди багатьох змінних
Степеневий ряд від n змінних — ряд виду:
або, в мультиіндексних позначеннях
де — це вектор , — мультиіндекс , — одночлен .
Див. також Ряд (математика) Формальний степеневий ряд Ряд Тейлора Теорема Абеля Ряд Пюїзо
Джерела
Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372