При́зма ( — «відпиляне»; від πρίζω — «пиляю») — стереометрична фігура, многогранник (призматоїд), у якого дві грані — рівні -кутники, розташовані в паралельних площинах, а решта граней — паралелограми. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а інші два -кутники називаються її основами.

Многокутник, що лежить в основі, визначає назву призми: трикутник — трикутна призма, чотирикутник — чотирикутна; п'ятикутник — п'ятикутна (пентапризма) і т. д.

Призма є частковим випадком циліндра в загальному сенсі (некругового).

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми — похилі.

Призма називається правильною, якщо вона пряма і її основи — правильні многокутники.

Висота призми — відстань між площинами її основ.

Види призм

Призма, основою якої є паралелограм, називається паралелепіпедом. Пряма призма — це призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площини основи, звідки випливає, що всі бічні грані є прямокутниками. Інші призми називаються похилими. Пряма прямокутна призма називається прямокутним паралелепіпедом. Символ Шлефлі такої призми— { }×{ }×{ }. Правильна призма — це пряма призма, основою якої є правильний многокутник. Бічні грані правильної призми — рівні прямокутники. Правильна призма, бічні грані якої є квадратами (висота якої дорівнює стороні основи), є напівправильним многогранником. Символ Шлефлі такої призми — t{2,p}.

Прямі призми з правильними основами й однаковими довжинами ребер утворюють одну з двох нескінченних послідовностей напівправильних многогранників, іншу послідовність утворюють антипризми

Зрізана призма — це призма з непаралельними основами.

Елементи призми НазваВизначенняПозначення на кресленніКресленняОсновиДві грані, є конгруентними многокутниками, що лежать у паралельних одна одній площинах., Бічні граніУсі грані, крім основ. Кожна бічна грань обов'язково є паралелограмом., , , , Бічна поверхняОб'єднання бічних граней.Повна поверхняОб'єднання основ і бічної поверхні.Бічні ребраСпільні сторони бічних граней., , , , ВисотаВідрізок, що з'єднує площини, у яких лежать основи призми і перпендикулярний до цих площин.ДіагональВідрізок, що з'єднує дві вершини призми, які не належать одній грані.Діагональна площинаПлощина, що проходить через бічне ребро призми і діагональ основи.Діагональний перерізПеретин призми і діагональної площини. В перерізі утворюється паралелограм, зокрема його часткові випадки — ромб, прямокутник, квадрат.Перпендикулярний (ортогональний) перерізПереріз призми і площини, перпендикулярної до її бічного ребра.

Властивості призми

Основи призми є рівними многокутниками. Бічні грані призми є паралелограмами. Бічні ребра призми паралельні і рівні. Об'єм призми дорівнює добутку її висоти на площу основи:

Об'єм призми з правильною n-кутною основою дорівнює

(тут s — довжина сторони многокутника).

Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні і подвоєної площі основи. Площа бічної поверхні довільної призми , де  — периметр перпендикулярного перерізу,  — довжина бічного ребра. Площа бічної поверхні прямої призми , де  — периметр основи призми,  — висота призми. Площа бічної поверхні прямої призми з правильною n-кутною основою дорівнює

Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних ребер призми. Кути перпендикулярного перерізу — це лінійні кути двогранних кутів при відповідних бічних ребрах. Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних граней. Двоїстим многогранником прямої призми є біпіраміда.

Діаграми Шлегеля Трикутнапризма 4-кутнапризма5-кутнапризма6-кутнапризма7-кутнапризма8-кутнапризма

Симетрія Групою симетрії прямої n-кутної призми з правильною основою є група Dnh порядку 4n, за винятком куба, який має групу симетрії порядку 48, що містить три версії D4h в якості підгруп. Групою обертань є Dn 2n, за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група порядку 24, що має три версії D4 в якості підгруп.

Група симетрії Dnh включає центральну симетрію в тому і тільки в тому випадку, коли n парне.

Об'єм Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту. Таким чином об'єм дорівнює:

де  — площа основи,  — висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний -кутник дорівнює:

Площа поверхні Площа бічної поверхні призми дорівнює , де  — периметр основи,  — висота.

Площа поверхні призми дорівнює , де  — площа основи,  — висота,  — периметр основи.

Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний -кутник дорівнює:

Призматичні многогранники Призматичний многогранник — це узагальнення призми в просторах розмірності 4 і вище. n-вимірний призматичний многогранник конструюється з двох ()-вимірних многогранників, перенесених у наступну розмірність.

Елементи призматичного n-вимірного многогранника подвоюються з елементів ()-вимірного многогранника, потім створюються нові елементи наступного рівня.

Візьмемо n-вимірний многогранник з елементами (i-вимірна грань, i = 0, …, n). Призматичний ()-вимірний многогранник буде мати елементів розмірності i (при , ).

За розмірностями:

Беремо многокутник з n вершинами і n сторонами. Отримаємо призму з 2n вершинами, 3n ребрами і гранями. Беремо многогранник з v вершинами, e ребрами і f гранями. Отримуємо (4-вимірну) призму з 2v вершинами, ребрами, гранями і комірками. Беремо 4-вимірний многогранник з v вершинами, e ребрами, f гранями і c комірками. Отримуємо (5-вимірну) призму з 2v вершинами, ребрами, (2-вимірними) гранями, комірками гіперкомірками.

Однорідні призматичні многогранники

Правильний n-многогранник, представлений символом Шлефлі  t}, може утворити однорідний призматичний многогранник розмірності (), представлений прямим добутком двох символів Шлефлі:  t}×{}.

За розмірностями:

Призма з 0-вимірного многогранника — це відрізок, що подається порожнім символом Шлефлі {}.

Призма з 1-вимірного многогранника — це прямокутник, отриманий з двох відрізків. Ця призма подається як добуток символів Шлефлі {}×{}. Якщо призма є квадратом, запис можна скоротити: Приклад: Квадрат, {}×{}, два паралельні відрізки, з'єднані двома іншими відрізками, сторонами. багатокутна призма — це 3-вимірна призма, отримана з двох многокутників (один отриманий паралельним перенесенням іншого), які пов'язані прямокутниками. З правильного многокутника {p} можна отримати однорідну n-кутну призму, подану добутком {p}×{}. Якщо , призма стає кубом: Приклад: п'ятикутна призма, {5}×{}, два паралельні п'ятикутники пов'язані п'ятьма прямокутними сторонами. 4-вимірна призма, отримана з двох многогранників (один отримано паралельним перенесенням іншого), зв'язаних 3-вимірними призматичними комірками. З правильного многогранника {p, q} можна отримати однорідну 4-вимірну призму, подану добутком {p, q}×{}. Якщо многогранник є кубом і сторони призми теж куби, призма перетворюється на тесеракт: {4, 3}×{} = Приклад: , {5, 3}×{}, два паралельні додекаедри, сполучені 12 п'ятикутними призмами (сторонами). …

Призматичні многогранники більш високих розмірностей також існують як прямі добутки двох будь-яких многогранників. Розмірність призматичного многогранника дорівнює добутку розмірностей елементів добутку. Перший приклад такого добутку існує в 4-вимірному просторі і називається , які отримуються, як добуток двох многокутників. Правильні дуопризми подаються символом {p}×{q}.

Скручена призма і антипризма Скручена призма — це неопуклий призматичний многогранник, отриманий з однорідної q-кутної призми шляхом поділу бічних граней діагоналлю і обертання верхньої основи, зазвичай на кут радіан ( градусів), в напрямку, за якого сторони стають увігнутимиМалюнки скручених призм.

Скручена призма не може бути розбита на тетраедри без уведення нових вершин. Найпростіший приклад з трикутними основами називається .

Скручена призма топологічно ідентична антипризмі, але має половину симетрій: Dn, [n,2]+, порядку 2n. Цю призму можна розглядати як опуклу антипризму, у якої видалено тетраедри між парами трикутників. ТрикутнаЧотирикутні12-кутнаМногогранник ШенхардтаСкручена квадратна антипризмаКвадратна антипризмаСкручена дванадцятикутна антипризма

Пов'язані многогранники і мозаїки Родина правильних призмМногокутникМозаїкаКонфігурація3.4.44.4.45.4.46.4.49.4.410.4.4Одинадцятикутна призма|11.4.417.4.4∞.4.4 Родина опуклих куполівn23456Назва{2} t{2}{3} t{3}{4} t{4}{5} t{5}{6} t{6}КуполДіагональний куполТрискатний куполЧотирискатний куполШестискатний купол(плоский)Пов'язаніодноріднімногогранникиТрикутна призмаКубооктаедрРомбокубооктаедрРомбоікосододекаедр

Симетрії Призми топологічно є частиною послідовності однорідних зрізаних многогранників з конфігураціями вершин (3.2 n.2n) і [n,3]. Варіанти симетрії *n32 зрізаних мозаїк: 3.2n.2nСиметрія*n32[n,3]СферичнаКомпактна гіперболічнаПараком-пактнаНекомпактна гіперболічна*232[2,3]*332 [3,3]*432[4,3]*532[5,3]*632[6,3]*732[7,3]*832[8,3]…*∞32[∞,3][12i,3][9i,3][6i,3]ЗрізаніфігуриКонфігурація3.4.43.6.63.8.83.10.103.24 i.24i3.18 i.18i3.12 i.12iРозділеніфігуриКонфігураціяV3.4.4V3.6.6V3.8.8V3.10.10V3.16.16V3.∞.∞ Призми топологічно є частиною послідовності скошених многогранників з вершинними фігурами (3.4.n.4) і мозаїк на гіперболічній площині. Ці вершиннотранзитивні фігури мають (*n32) дзеркальну симетрію. Варіанти симетрії *n42 розширених мозаїк: 3.4.n.4Симетрія*n32[n,3]СферичнаЕвклідоваКомпактнагіперболічнаПаракомпактна*232[2,3]*332[3,3]*432[4,3]*532[5,3]*632[6,3]*732[7,3]*832[8,3]…*∞32[∞,3]ФігураКонфігурація3.4.2.43.4.3.43.4.4.43.4.5.43.4.8.43.4.∞.4

З'єднання многогранників

Існує 4 однорідні з'єднання трикутних призм:

, , , .

Стільники Існує 9 однорідних стільників, що включають комірки у вигляді трикутних призм: , , , , , , , , , .

Пов'язані многогранники Трикутна призма є першим многогранником в ряду . Кожен наступний однорідний многогранник містить в якості вершинної фігури попередній многогранник. ідентифікував цю серію в 1900 як таку, що містить всі фасети правильних багатовимірних многогранників, всі симплекси і ортоплекси (правильні трикутники і квадрати для випадку трикутних призм). У нотації Коксетера трикутна призма задається символом −121. у просторі розмірністю nПростірСкінченний  Евклідів  Гіперболічний345678910ГрупаКоксетераE₃=A₂A₁E₄=A₄E₅=D₅E₆E₈E₉ = Ẽ₈ = E₈+E₁₀ = T₈ = E₈++ДіаграмаКоксетера[3−1,2,1][30,2,1][31,2,1][32,2,1][33,2,1][34,2,1][35,2,1][36,2,1]Порядок1212019251 8402 903 040696 729 600∞Граф - -Позначення−121021121521621

Чотиривимірний простір Трикутна призма є коміркою у багатьох чотиривимірних , включно з:

Примітки

Див. також Призматоїд Антипризма Паралелепіпед Куб Циліндр Паралелограм Граф призми

Література

Посилання

George Olshevsky. «Prismatic polytope». Glossary for Hyperspace. Nonconvex Prisms and Antiprisms Surface Area MATHguide Volume MATHguide Paper models of prisms and antiprisms Розгортки призм і антипризм Paper models of prisms and antiprisms Розгортки, створені системою . Stella: Polyhedron Navigator: Програми для створення 3D- и 4D-зображень, наведених на цій сторінці.