Паралелепі́пед (від — паралельний і — площина) — призма, основою для якої є паралелограм.
Властивості Всі 6 граней паралелепіпеда є паралелограмами. Протилежні грані рівні та паралельні. Діагоналі перетинаються в одній точці та діляться в ній навпіл.
Типи паралелепіпедів
Розрізняють декілька типів паралелепіпедів: Прямий паралелепіпед — паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи. У прямих паралелепіпедів чотири грані є прямокутниками, а основи — паралелограмами. Паралелепіпеди, які не є прямими, називаються похилими. Прямокутний паралелепіпед — прямий паралелепіпед, основою в якому є прямокутник. У прямокутного паралелепіпеда всі грані — прямокутники. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають спільну вершину, називають його вимірами. Всі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні. Моделями прямокутного паралелепіпеда може бути кімната, цеглина, сірникова коробка. Куб — прямокутний паралелепіпед з рівними сторонами. Всі шість граней куба — рівні квадрати.
Основні формули Прямий паралелепіпед Площа бічної поверхні: , де — периметр основи, — висота. Площа повної поверхні: , де — площа основи. Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту: .
Прямокутний паралелепіпед Площа бічної поверхні: , де , — сторони основи, — бічне ребро прямокутного паралелепіпеда. Площа повної поверхні: . Об'єм: , де , , — виміри прямокутного паралелепіпеда. У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів його вимірів: .
Куб Площа повної поверхні: , де — сторона. Об'єм: . Діагональ: .
Формули векторної алгебри
Об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , і розраховується як модуль мішаного добутку цих векторів:
або
Паралелотоп Гарольд Коксетер назвав узагальнення паралелепіпеда на вищі розмірності паралелотопом. В сучасній літературі термін "паралелепіпед" часто використовують і у вищих розмірностях .Morgan, C. L. (1974). Embedding metric spaces in Euclidean space. Journal of Geometry, 5(1), 101–107. https://doi.org/10.1007/bf01954540
Конкретніше, паралелотоп в n-вимірному просторі називається n-вимірний паралелотоп, або просто -паралелотоп (або -паралелепіпед). Таким чином паралелограм це 2-паралелотоп, а паралепіпед - 3-паралелотоп.
Більш загально, паралелотоп, або паралелотоп Вороного, має паралельні і конгруентні протилежні фасети. Тож 2-паралелотоп - це паралелогон що також може включати деякі гексагони, а 3-паралелотоп це .
Діагоналі n-паралелотопа перетинаються в одній точці, і ця точка ділить їх надвоє. Інверсія в цій точці залишає n-паралелотоп незміненим.
Ребра що виходять з однієї вершини k-паралелотопа утворюють векторного простору, і паралелотоп можна відтворити з цих векторів їх лінійними комбінаціями з коефіцієнтами в межах від 0 до 1.
n-об'єм n-паралелотопа в просторі де можна обчислити за допомогою визначника Грама. Як альтернатива, об'єм - це норма зовнішнього добутку векторів:
Якщо , це дорівнює абсолютному значенню визначника векторів.
Див. також Призма Прямокутний паралелепіпед Куб
Примітки
Література