Групою Лі над полем ( або ) називається група , зі структурою диференційовного (гладкого) многовиду над , причому відображення та визначені :
,
є гладкими (у разі поля вимагають голоморфності введених відображень).
Довільна комплексна -мірна група Лі є дійсною групою Лі розмірності . Довільна комплексна група Лі за визначенням є аналітичним многовидом, але і в дійсному випадку на будь-якій групі Лі існує аналітичний атлас, в якому відображення і записуються аналітичними функціями.
Групи Лі названі на честь Софуса Лі. Вони природно виникають при розгляді неперервних симетрій. Наприклад, рухи площини утворюють групу Лі. Групи Лі є в сенсі багатства структури найкращими з многовидів і, як такі, дуже важливі в диференціальний геометрії. Вони також відіграють помітну роль у геометрії, фізиці і математичному аналізі.
Типи груп Лі Групи Лі класифікуються за своїми алгебраїчними властивостями (простоти, напівпростоти, розв'язності, нільпотентності, комутативності), а також за топологічними властивостями (зв'язності, однозв'язності і компактності).
Цей клас неперервних груп перетворень є сукупність операторів диференційованих по скінченному числу параметрів Умова диференційовуваності є еквівалентною експониненційному представленню елемента групи
де інфінітезимальні оператори утворюють алгебру
Знаходження незвідних зображень зводиться до визначення матричних елементів операторів алгебри, яка має певну структуру. Оператори представлення задовільняють співвідношенню де - довільні елементи групи.
Формула, яка пов'язує скінченне перетворення із інфінітезимальними операторами, можна отримати, інтегруючи диференціальні рівняння групи, записані відносно параметрів
де - число параметрів групи. За умов де - ідемпотент, отримуємо
Рішення системи рівнянь
приводить до експониненційної форми зображення з визначення інфінітезимального оператора
Щоб запевнитися, що утворює групу, достатньо запевнитися, у справедливості рівності:
- одиничний оператор. Операторний вираз можна представити у вигляді
де за допомогою здійснюється впорядкування операторних співмножників за допомогою умови якщо та коли причому розглядаються як -числа. Цей метод використовувався при розплутуванні виразу для матриці розсіяння, причому роль індексу відігравав час.
Підгрупи Лі Підгрупа групи Лі називається її підгрупою Лі, якщо вона є підмноговидом в многовиді . Не всяка підгрупа є підгрупою Лі: наприклад, підгрупа пар виду у торі не є підгрупою Лі. Підгрупа Лі завжди замкнута. У дійсному випадку вірно і зворотне: замкнута підгрупа є підгрупою Лі. У комплексному випадку це не так: бувають дійсні підгрупи Лі комплексної групи Лі, що мають непарну розмірність, наприклад, унітарні матриці в групі оборотних комплексних матриць .
Нехай — підгрупа Лі групи Лі . Множину суміжних класів (байдуже, лівих або правих) можна єдиним чином наділити структурою диференційовного многовиду, так, щоб канонічна проєкція була диференційовним відображенням. При цьому одержується локально тривіальне розшарування, і якщо — нормальна підгрупа, то факторгрупа буде групою Лі.
Гомоморфізми і ізоморфізми Нехай і — групи Лі над одним і тим же полем. Гомоморфізмом груп Лі називається відображення , що є гомоморфізмом груп і одночасно аналітичним відображенням многовидів. (Можна показати, що для виконання останньої умови досить неперервності .) Композиція гомоморфізмів груп Лі знову буде гомоморфізмом груп Лі. Класи всіх дійсних і всіх комплексних груп Лі разом з відповідними гомоморфізмами утворюють категорії і . Гомоморфізм груп Лі називається ізоморфізмом, якщо існує обернений гомоморфізм. Дві групи Лі, між якими існує ізоморфізм, як завжди в абстрактній алгебрі, називаються ізоморфними. Як завжди, групи Лі розрізняють лише з точністю до ізоморфізму. Наприклад, група Лі поворотів площини з операцією композиції і група Лі комплексних чисел, рівних за модулем одиниці, з операцією множення, є ізоморфними.
Приклад ірраціональної обмотки тора показує, що образ підгрупи Лі при гомоморфізмі не завжди є підгрупою Лі. Проте прообраз підгрупи Лі при гомоморфізмі завжди є підгрупою Лі.
Гомоморфізм групи Лі над полем у групу невироджених лінійних перетворень векторного простору над полем називається представленням групи у просторі .
Дії груп Лі Групи Лі часто виступають як симетрії якої-небудь структури на деякому многовиді, а тому природно, що вивчення дій груп на різних многовидах є важливим розділом теорії. Говорять, що група Лі G діє на гладкому многовиді M, якщо заданий гомоморфізм груп a: G → Diff M, де Diff M — група дифеоморфізмів M. Таким чином, кожному елементу g групи G повинне відповідати дифеоморфне перетворення ag многовиду M, причому добутку елементів і зворотному елементу відповідають відповідно композиція дифеоморфізмів і обернений дифеоморфізм. Якщо з контексту зрозуміло, про яку дію йде мова, то образ ag(m) точки m при дифеоморфізмі, що визначається елементом g, позначається просто gm.
Група Лі природно діє на собі множенням справа і зліва, а також спряженнями. Ці дії традиційно позначаються l, r і a:
lg(h) = gh, rg(h) = hg, ag(h) = ghg−1.
Іншим прикладом дії є дія групи Лі G на множині класів суміжності цієї групи Лі по деякій підгрупі N ≤ G:
g (hN) = (gh)N
Дія групи Лі G на диференційовному многовиді M, називається транзитивною, якщо будь-яку точку M можна перевести в будь-яку іншу за допомогою дії деякого елементу G. Многовид, на якому задано транзитивну дію групи Лі називається однорідним простором цієї групи. Однорідні простори відіграють важливу роль в багатьох розділах геометрії. Однорідний простір групи G дифеоморфний G / st x, де st x — стабілізатор довільної точки.
Алгебра Лі З довільною групою Лі можна пов'язати деяку алгебру Лі, яка повністю відображає локальну структуру групи, в усякому разі, якщо група Лі зв'язна.
Векторне поле на групі Лі G називається лівоінваріантним, якщо воно комутує з лівим множенням, тобто V(lg* f)= lg* (Vf) для всіх g з G, і будь-якої диференційовної функції f. Еквівалентно dlg (Vx) = Vgx для всіх x, y з G.
Очевидно, будь-яке лівоінваріантне векторне поле V на групі Лі повністю визначається своїм значенням Ve в одиниці. Навпаки, задавши довільний вектор V в дотичному просторі Ge до одиниці, можна поширити його лівим множенням по всій групі. Одержується взаємно однозначна відповідність між дотичним простором до групи в одиниці і простором лівоінваріантних векторних полів.
Дужка Лі [X,Y] лівоінваріантних векторних полів буде лівоінваріантним векторним полем. Тому Ge є алгеброю Лі. Ця алгебра називається алгеброю Лі групи G. Звичайно вона позначається відповідною малою готичною буквою
Приклади
Будь-яка абстрактна (дискретна топологічна) група є групою Лі по відношенню до гладкості, у якій вона є нульвимірним многовидом. Будь-який скінченновимірний лінійний простір є групою Лі по додаванню. Одинична окружність точками якої є комплексні числа є групою Лі по добуткові. Одинична сфера кватерніонів, точками якої є кватерніони для яких Якщо сфера є групою Лі, то необхідно або , тому та є єдиними сферами, які припускають структуру групи Лі. Прямий добуток топологічни (гладких) груп є топологічною (гладкою) групою. Зокрема, будь-який тор Групою Лі є повна лінійна група а також ізоморфна їй група усіх автоморфізмів (невироджених лінійних операторів) довільного n-вимірного лінійного простору
Дійсні групи Лі Група Лі Опис Властивості Алгебра Лі Розмірність Евклідовий простір з операцією додавання Комутативність; однозв'язність, некомпактність n Ненульові дійсні числа з операцією множення Комутативність; незв'язність, некомпактність 1 Додатні дійсні числа з операцією множення Комутативність; однозв'язність, некомпактність 1 Комплексні числа з модулем 1 і операцією множення Комутативність; зв'язність, неоднозв'язність, компактність 1 Загальна лінійна група: дійсні оборотні матриці розмірності n×n незв'язність, некомпактність n² Дійсні матриці розмірності n×n з додатним визначником Однозв'язність, некомпактність n² Спеціальна лінійна група: Дійсні матриці розмірності n×n з визначником 1 Однозвязність, некомпактність для n > 1 n²-1 Ортогональна група: Ортогональні дійсні матриці Незв'язність, компактність n(n — 1)/2
Комплексні групи Лі Розмірність подано в .
Група Лі Опис Властивості Алгебра Лі Розмірність Евклідовий простір з операцією додавання Комутативність; однозв'язність, некомпактність n Ненульові комплексні числа з операцією множення Комутативність; неоднозв'язність, некомпактність 1 Загальна лінійна група: дійсні оборотні матриці розмірності n×n Однозвязність, некомпактність; n² Спеціальна лінійна група: комплексні матриці розмірності n×n з визначником 1 Однозв'язність, некомпактність для n≥2 (n²-1) Ортогональна група: Ортогональні комплексні матриці Незв'язність, некомпактність для n≥2 n(n-1) Спеціальна ортогональна група: комплексні ортогональні матриці з визначником 1 Неоднозв'язність, некомпактність для n≥2 n(n-1) Унітарна група: унітарні комплексні матриці розмірності n×n Неоднозв'язність, компактність; n² Спеціальна унітарна група: унітарні комплексні матриці розмірності n×n з визначником 1 Однозв'язність, компактність n²-1
Див. також Алгебра Лі Алгебрична група Компактна група Лі Лінійна алгебрична група
Примітки
Література
Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995 Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979 Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN 0-387-40122-9 Helgason Sigurdur (1978), «Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces», Academic Press, Rossmann, Wulf (2001), Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0198596837 P. Basarab-Horwath, V. Lahno, R. Zhdanov (2000) The Structure of Lie Algebras and the Classification Problem for Partial Differential Equations