Міра Лебе́га на — міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин; введена Лебегом 1902 року.
Побудова міри на прямій
Зовнішня міра Для довільної підмножини числової прямої можна знайти довільну кількість різних систем скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину . Назвемо такі системи покриттями. Сума довжин інтервалів, що входять в покриття, є невід'ємною і обмежена знизу, отже множина довжин всіх покриттів має точну нижню грань. Ця грань, залежить тільки від множини , і називається зовнішньою мірою:
Варіанти позначення зовнішньої міри:
Очевидно, що зовнішня міра довільного інтервала збігається з його довжиною.
Властивості зовнішньої міри
, де — відкрита множина. Дійсно, достатньо як взяти суму інтервалів, що утворюють покриття , таку що . Існування такого покриття випливає з визначення точної нижньої грані.
Внутрішня міра Якщо множина обмежена, то внутрішньою мірою множини називається різниця між довжиною сегмента , що містить та зовнішньою мірою доповнення в :
Для необмежених множин, визначається як точна верхня грань по всіх відрізках .
Вимірні множини Множина називається вимірною за Лебегом, якщо її зовнішня і внутрішня міри однакові. Тоді їх спільне (однакове) значення називається мірою множини за Лебегом і позначається чи .
Приклад невимірної множини Множина Віталі — історично перший приклад множини, що не має міри Лебега (невимірна множина). Цей приклад опублікував у 1905 році італійський математик Джузеппе Віталі.
Побудова невимірної множини на відрізку була б неможлива без прийняття аксіоми вибору (не можна було б допускати можливість вибирати представника в кожному класі еквівалентності).
Див. також Міра Жордана Міра Гаусдорфа
Джерела