Теорема Рімана — Роха — твердження в комплексному аналізі, що визначає розмірність векторного простору мероморфних функцій ріманової поверхні з нулями і полюсами визначених порядків в заданих точках поверхні. Названа на честь німецьких математиків Бернхарда Рімана і Ґустава Роха.
Допоміжні визначення Нехай X — компактна ріманова поверхня роду g. Групою дивізорів цієї поверхні називається вільна абелева група породжена точками X. Елементами є скінченні суми . Дивізор називається додатним (позначається ), якщо всі . Також використовується позначення якщо . Порядок дивізора визначається як . Для мероморфної функції f визначеної в X можна визначити дивізор , де — нулі і полюси функції f і , якщо — нуль порядку a і , якщо — полюс порядку a. Дивізори D для яких існує мероморфна функція f така, що називаються головними. Два дивізори називаються лінійно еквівалентними, якщо їх різниця є головним дивізором. Оскільки порядок довільного головного дивізора рівний нулю то можна говорити також про порядок класу лінійної еквівалентності дивізорів. Якщо — диференційна мероморфна 1-форма на ній подібно до мероморфної функції можна задати дивізор. Оскільки то всі такі дивізори (канонічні дивізори) належать одному класу. Такі дивізори найчастіше позначаються K. Позначимо тепер . Дана множина є векторним простором над полем комплексних чисел. Його розмірність позначається .
Твердження теореми З використанням введених вище позначень твердження теореми для X — компактної ріманової поверхні роду g запишеться:
Література Jost, Jürgen (2006), Compact Riemann Surfaces, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-33065-3 Shigeru Mukai; William Oxbury (translator) (2003). An Introduction to Invariants and Moduli. Cambridge studies in advanced mathematics. 81. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-80906-1. Misha Kapovich , ''The Riemann-Roch Theorem