Мішаний добуток векторів — скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів і : .
Інколи його називають потрійним скалярним добутком векторів, вочевидь через те, що результатом є скаляр (точніше — псевдоскаляр).
Властивості Змішаний добуток кососиметричний по відношенню до всіх своїх аргументів:
т. тобто перестановка будь-яких двох співмножників міняє знак добутку. Звідси випливає, що
Змішаний добуток в правій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів та :
Змішаний добуток в лівій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів та , взятому зі знаком «мінус»:
зокрема, Якщо якісь два вектори колінеарні, то з будь-яким третім вектором вони утворюють мішаний добуток, що дорівнює нулю. Якщо три вектори лінійно залежні (т. тобто компланарні, лежать в одній площині), то їх мішаний добуток дорівнює нулю. Геометричний сенс — мішаний добуток за абсолютним значенням дорівнює об'єму паралелепіпеда (див. малюнок), утвореного векторами та ; знак залежить від того, чи є ця трійка векторів права або ліва. Квадрат змішаного добутку векторів дорівнює визначнику Грама, що визначається ними.
Змішаний добуток зручно записується за допомогою символу (тензора) Леві-Чивіти:
(в останній формулі в ортонормированном базисі всі індекси можна писати нижніми; в цьому випадку ця формула абсолютно прямо повторює формулу з визначником, правда, при цьому автоматично виходить множник (-1) для лівих базисів).
Тлумачення Мішаний добуток не є принципово новим математичним поняттям, оскільки процедура його обчислення зводиться до послідовного знаходження скалярного та векторного добутків. Попри це, вивчення мішаного добутку як окремого математичного об'єкта є дуже доцільним, оскільки він часто зустрічається при розгляді різноманітних задач і має низку властивостей, що спрощують їх розв'язання.
Подвійний векторний добуток Подвійний векторний добуток — є векторним добутком одного вектора із векторним добутком двох інших. Має місце така формула:
.
Див. також Функція відстані зі знаком
Примітки