Множина називається вимірною щодо міри μ, якщо вона належить до σ-алгебри на якій визначена μ. Для підмножин евклідового простору, якщо міра не вказана, то вважається, що μ це міра Лебега.
В сенсі Лебега Множина називається вимірною (в сенсі Лебега), якщо для довільного знайдеться така елементарна множина , що: , де: — зовнішня міра множини. Якщо функція розглядається лише на вимірних множинах, то вона називається мірою Лебега. — симетрична різниця множин.
Іншими словами, якщо множина вимірна, то її можливо «як завгодно точно наблизити» елементарними множинами.
Властивості
Сукупність вимірних множин замкнена відносно операцій взяття скінчених або злічених сум та перетинів (тобто, являє собою σ-алгебру). Функція μ σ-адитивна на . Доповнення вимірної множини також вимірна множина. Сума та перетин скінченої кількості вимірних множин також вимірні множини. Різниця та симетрична різниця двох вимірних множин також вимірна множина. Довільна множина зовнішня міра якого дорівнює 0, є вимірним.
Невимірні множини
Не всі підмножини Евклідового простору вимірні в сенсі Лебега; прикладами невимірних множин є множина Віталі та невимірні множини, визначені в парадоксі Гаусдорфа, парадоксі Банаха-Тарського.
Див. також Вимірна функція Міра множини Інтеграл Лебега
Джерела