Тотожність (в математиці) — рівність двох виразів, яка виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад,
, , , , , , , ,
тощо.
Рівність має місце не для будь-якого значення , а тільки при . Така рівність не є тотожністю; вона називається рівнянням. Тотожністю називають також рівність, що не містить змінних; наприклад: .
Тотожність часто позначається символом «≡»
Формули скороченого множення Квадрат суми (різниці): справедлива рівності для будь яких .
Різниця квадратів: справедлива рівність для будь яких .
Куб суми (різниці): справедлива рівність для будь яких .
Сума (різниця) кубів: справедлива рівність для будь яких .
Многочлени справедлива рівність для будь яких .
Пропорція Пропорція є тотожність при всіх значеннях , крім , оскільки при знаменники дробів перетворюються в нуль, тобто дроби не мають змісту. Заміна виразу виразом (скоротили на ) є тотожнім перетворенням виразу при обмеженнях: .Отже, = — тотожність при всіх значеннях змінних, крім .
Тотожності (властивості степенів) Для будь яких і додатних справедливі рівності:
; ; ; ; ; ; .
Логарифмічні тотожності Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів; логарифм частки дорівнює різниці логарифмів. Логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня p на логарифм самого числа х; логарифм кореня p-го степеня з числа х — логарифм числа, поділений на p. У наступній таблиці перелічені ці тотожності з прикладами. Дані логарифмічні тотожності виконуються за умови, що , . Формула Приклад добуток частка степінь корінь З означення логарифма випливає, що при виконується рівність . ЇЇ називають основною логарифмічною тотожністю.
Формула переходу до іншої основи логарифма Прологарифмуємо за основою , де , обидві частини основної логарифмічної тотожності . Отримаємо: — формула переходу від логарифма з основою до логарифма з основою .
Тотожності гіперболічної функції Гіперболічні функції задовольняють безліч тотожностей, всі вони подібні за формою до тригонометричних тотожностей. Правило Осборна зазначає, що можна перетворити будь-яку тригонометричну тотожність у гіперболічну тотожність, розширивши її повністю. Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції і гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.
Парність:
Формули додавання:
.
Приклади тотожностей в математиці
Тотожність Ейлера Тотожність паралелограма Тотожність чотирьох квадратів Тотожність восьми квадратів Тригонометричні тотожності
Див. також
Відношення еквівалентності
Примітки і джерела