Гіперболі́чні фу́нкції — сім'я елементарних функцій, які виражаються через експоненту і тісно пов'язані з тригонометричними функціями.
Визначення Гіперболічні функції задаються такими формулами:
гіперболічний синус:
(в іноземній літературі позначається ). Існує сленгова назва: «шинус».
гіперболічний косинус:
(в іноземній літературі позначається ). Існує сленгова назва: «чосинус», «кошинус».
Лінію гіперболічного косинуса називають ланцюговою, бо саме таку форму приймає ланцюг або мотузка, яку підвісили за обидва кінці в однорідному гравітаційному полі.
гіперболічний тангенс:
(в іноземній літературі позначається ).
Існують сленгові назви: «щангенс», «цангенс».
Іноді також визначається
гіперболічний котангенс:
,
гіперболічні секанс і косеканс:
, .
Властивості
Зв'язок з тригонометричними функціями
Гіперболічні функції виражаються через тригонометричні функції від уявного аргументу.
.
.
Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції та гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.
Важливі тотожності
. Парність: , , . Формули додавання: , , . Формули подвоєного кута: , , , , , . Формули кратних кутів: , , , , , . Добуток , , , . Суми , , , . Формули пониження степеня , . Похідні: , , , , , . Інтеграли: , , , , .
Дивись також: Таблиця інтегралів гіперболічних функцій, Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій
Нерівності При всіх виконується , .
Розкладання в степеневі ряди
, , , (Ряд Лорана).
Тут — числа Бернуллі.
Графіки
Аналітичні властивості Гіперболічний синус і гіперболічний косинус аналітичний у всій комплексній площині, за винятком істотно особливої точки на нескінченності. Гіперболічний тангенс аналітичний скрізь, окрім полюсів в точках , де — ціле. Лишки у всіх цих полюсах рівні одиниці. Гіперболічний котангенс аналітичний скрізь, окрім точок , лишки в цих полюсах також рівні одиниці.
Див. також Обернені гіперболічні функції Функції Крилова
Джерела