В інтегральному численні еліпти́чний інтегра́л з'явився у зв'язку із завданням обчислення довжини дуги еліпса і був вперше досліджений Джуліо Фаніано і Леонардом Ейлером.
Еліптичні інтеграли є оберненими функціями до еліптичних функцій Якобі. З історичної точки зору спочатку були відкриті еліптичні інтеграли.
Визначення Еліптичні інтеграли — це інтеграли виду
та
де — деяка раціональна функція, у випадку, коли ці інтеграли не виражаються через елементарні функції а — деяка стала. У результаті ряду перетворень можна кожен з таких інтегралів звести до елементарних функцій і до еліптичних інтегралів першого, другого та третього роду, відповідно:
Якщо зробити підстановку , одержимо запис еліптичних інтегралів у лежандровій формі:
Величина називається амплітудою, стала — модулем еліптичного інтегралу, а — параметром.
SEM-001
Еліптичні інтеграли першого роду
Еліптичні інтеграли першого роду ! rawspan=2|0°10°20°30°40°50°60°70°80°90°0°0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000100.17450.17460.17460.17480.17490.17510.17520.17530.17540.1754200.34910.34930.34990.35080.35200.35330.35450.35550.35610.3564300.52360.52430.52630.52940.53340.53790.54220.54590.54840.5493400.69810.69970.70430.71160.72130.73230.74360.75350.76040.7629500.87270.87560.88420.89820.91730.94010.96470.98761.00441.0107601.04721.05191.06601.08961.12261.16431.21261.26191.30141.3170701.22171.22861.24951.28531.33721.40681.49441.59591.69181.7354801.39631.40561.43441.48461.55971.66601.81252.01192.26532.4362901.57081.58281.62001.68581.78681.93562.15652.50463.1534
Еліптичні інтеграли другого роду
Еліптичні інтеграли другого роду 0°10°20°30°40°50°60°70°80°90°0°0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000100.17450.17450.17440.17430.17420.17400.17390.17380.17370.1736200.34910.34890.34830.34730.34620.34500.34380.34290.34220.3420300.52360.52290.52090.51790.51410.51000.50610.50290.50070.5000400.69810.69660.69210.68510.67630.66670.65750.64970.64460.6428500.87270.86980.86140.84830.83170.81340.79540.78010.76970.7660601.04721.04261.02901.00760.98010.94930.91840.89140.87280.8660701.22171.21491.19491.16321.12211.07501.02660.98300.95140.9397801.39631.38701.35971.31611.25901.19261.12251.05651.00540.9848901.57081.55891.52381.46751.39311.30551.21111.11841.04011.0000
Еліптичні інтеграли третього роду
Повні еліптичні інтеграли
Повні еліптичні інтеграли ° ° ° |-01.57081.5708301.68581.4675602.15651.211111.57091.5707311.69411.4608612.18421.201521.57131.5703321.70281.4539622.21321.192031.57191.5697331.71191.4469632.24351.182641.57271.5689341.72141.4397642.27541.173251.57381.5678351.73121.4323652.30881.163861.57511.5665361.74151.4248662.34391.154571.57671.5649371.75221.4171672.38091.145381.57851.5632381.76331.4092682.41981.136291.58051.5611391.77481.4013692.46101.1272101.58281.5589401.78681.3931702.50461.1184111.58541.5564411.79921.3849712.55071.1096121.58821.5537421.81221.3765722.59981.1011131.59131.5507431.82561.3680732.65211.0927141.59461.5476441.83961.3594742.70811.0844151.59811.5442451.85411.3506752.76811.0764161.60201.5405461.86911.3418762.83271.0686171.60611.5367471.88481.3329772.90261.0611181.61051.5326481.90111.3238782.97861.0538191.61511.5283491.91801.3147793.06171.0468201.62001.5238501.93561.3055803.15341.0401211.62521.5191511.95391.2963813.25531.0338221.63071.5141521.97291.2870823.36991.0278231.63651.5090531.99271.2776833.50041.0223241.64261.5037542.01331.2681843.65191.0172251.64901.4981552.03471.2587853.83171.0127261.65571.4924562.05711.2492864.05281.0086271.66271.4864572.08041.2397874.33871.0053281.67011.4803582.10471.2301884.74271.0026291.67771.4740592.13001.2206895.43491.0008301.68581.4675602.15651.211190 1.0000
Джерела