Еліптичні функції Якобі — набір основних еліптичних функцій комплексної змінної, і допоміжних тета-функцій, які мають велике історичне значення і пряме відношення до деяких прикладних задач (наприклад, рівняння маятника). Вони також мають корисні аналогії з тригонометричними функціями, як показує відповідне позначення для . Вони не дають найпростіший спосіб розвинути загальну теорію еліптичних функцій, тому в у вступних книгах вони менш популярні, ніж еліптичні функції Вейєрштраса. Еліптичні функції Якобі мають в основному паралелограмі по два простих полюси і два простих нуля.
Означення
Як мероморфні функції
Функції Якобі є еліптичними функціями, тобто подвійно періодичними мероморфними функціями комплексної змінної. Тобто фактично їх значення визначається на торі або основному паралелограмі.
Якщо ця функція є всюди голоморфною то згідно з теоремою Ліувіля вона буде константою. З властивостей лишків та подвійної періодичності випливає також, що еліптичні функції не можуть в основному паралелограмі мати єдиного полюса порядку 1. Відповідно найпростішими несталими функціями є функції з єдиним полюсом порядку два і двома полюсами порядку 1. Першими є еліптичні функції Вейєрштраса, другими — еліптичні функції Якобі.
Загалом існує 12 принципово відмінних еліптичних функцій Якобі. Загалом вони залежать від основного паралелограма.
Нехай визначено паралелограм (який не буде основним) як на малюнку з вершинами , що для зручності нотації позначені як s, c, d і n, відповідно.
Дійсні числа K і K' називаються «чвертями періодів».
12 функцій позначаються sc, sd, sn, cd, cn, cs, dn, ds, dc, ns, nc і nd.
Вони є єдиними еліптичними функціями, що задовольняють умови: Функція має простий нуль в куті p визначеного паралелограма і простий полюс в куті q. В інших двох кутах полюсів і нулів немає. Відстань від p до q є половиною періоду функції pq u;тобто функція pq u є періодичною в напрямку pq, з періодом вдвічі більшим, ніж відстань від p до q. Відстані від p до інших точок є чвертями періодів. Розклад функції pq u в ряд Тейлора щодо u в околі точки p має членом найменшого степеня u; членом найменшого степеня при розкладі в ряд Лорана в околі q є 1/u; в інших кутах розклад в ряд Тейлора починається з 1.
Наприклад функція dn має нуль в точці d і полюс в точці n. Вона періодична з періодами 2K і 4iK.
Як обернені функції до еліптичних інтегралів Наведене вище означення в термінах мероморфних функцій є досить абстрактним. Існує більш просте, але абсолютно еквівалентне означення, що задає еліптичні функції як зворотні до неповного еліптичному інтегралу першого роду. нехай
Еліптична функція задається як
і визначається
а
Тут кут називається амплітудою. називається дельта амплітудою. Значення m є вільним параметром, який є дійсним числом в діапазоні , і таким чином еліптичні функції є функціями двох аргументів: амплітуди і параметра m.
Решта дев'ять еліптичних функцій легко побудувати з трьох вищенаведених. Це буде зроблено нижче.
Коли , то u дорівнює чверті періоду K.
Означення в термінах тета-функцій Еквівалентно еліптичні функції Якобі можна визначити в термінах тета-функцій. Якщо ми визначимо як , і відповідно як (тета константи) тоді еліптичний модуль k дорівнює . Вважаючи , отримаємо
Оскільки функції Якобі визначаються в термінах еліптичного модуля , необхідно знайти обернені до них і записати τ в термінах k. Почнемо з додаткового модуля . Як функція від τ він рівний
Введемо позначення
Визначимо також ном q як і розкладемо в ряд за степенями нома q. отримаємо
Можна записати розклад в ряд
Оскільки ми можемо розглянути окремий випадок коли уявна частина τ більша або рівна , ми можемо сказати, що значення q менше або рівне . Для таких малих значень вищенаведений ряд збігається дуже швидко, і це дозволяє легко знайти відповідне значення для q.
Позначення Для еліптичних функцій можна зустріти різноманітні позначення. Еліптичні функції — функції двох змінних. Першу змінну можна дати в термінах амплітуди φ, або зазвичай, в термінах u, як нижче. Другу змінну можна було б дати в термінах параметра m, або як еліптичний модуль k, де , або в термінах модулярного кута , де .
Інші функції Зміною двох букв в назві функцій зазвичай позначають обернені функції до трьох основних функцій наведених вище:
Частки трьох головних функцій позначають першою літерою чисельника і першою літерою знаменника:
Для кращого запам'ятовування більш коротко можна записати : де всі букви p, q, і r є будь-якими буквами s, c, d, n (слід пам'ятати, що ss = cc = dd = nn = 1).
Додаткові теореми
Функції задовольняють двом алгебраїчним співвідношенням
З цього видно, що (cn, sn, dn) параметризують еліптичну криву, яка є перетином двох квадрик заданих вищезазначеними двома рівняннями.
На цій кривій можна визначити груповий закон для точок за допомогою додаткових формул для функцій Якобі:
Тригонометричні і гіперболічні функції, як окремий випадок еліптичних
Якщо m = 1, то: ; Звідси:
Звідси:
і:
Таким чином, при m = 1 еліптичні функції вироджуються в гіперболічні. Якщо m = 0, то: ; Звідси: , а також: ,: , Таким чином, при m = 0 еліптичні функції вироджуються в тригонометричні.
Співвідношення між квадратами функцій Для квадратів цих функцій вірні наступні співвідношення:
де і .
Додаткові рівності для квадратів можна отримати якщо зауважити, що , а також де p, q, r — будь-які літери s, c, d, n і ss = cc = dd = nn = 1.
Ном
Нехай ном дорівнює і нехай аргумент — .
Тоді функції можна представити у вигляді сум Ламберта:
Розв'язки нелінійних звичайних диференціальних рівнянь Похідні трьох основних еліптичних функцій Якобі записуються у вигляді:
Використовуючи теорему, формулювання якої наведена вище отримаємо для заданого k (0 < k < 1) рівняння розв'язками яких є еліптичні функції Якобі: є розв'язком рівнянь
і
є розв'язком рівнянь
і
є розв'язком рівняння
і
Див. також Еліптичний інтеграл Еліптична функція Еліптичні функції Вейєрштрасса
Посилання
Література See Chapter 16
или Москва: УРСС, 2010