Класи Бера — множини дійснозначних функцій, означені індуктивно, введені Рене-Луі Бером в 1899 році.
Означення Надалі розглядаємо функції , де — метричний простір. До класу Бера 0 відносяться всі неперервні функції. До класу Бера 1 відносяться всі розривні функції, які є поточковою границею послідовності неперервних функцій. До класу Бера n > 0 відносять функції, які не належать жодному класу Бера m < n, але які можна подати як поточкову границю послідовності функцій класів m < n. Нумерація класів Бера не обмежується натуральними числами, і може бути продовжена за допомогою трансфінітних чисел.
Властивості Надалі — порядкове число. Лінійна комбінація, добуток та частка функцій з класу Бера з номером не вище ніж теж належать до класу Бера з номером не вище ніж . Рівномірно збіжна послідовність функцій з класів з номером не більше ніж має границю з класу Бера з номером не більше ніж . Похідна довільної диференційовної функції належить або класу Бера 0 або класу Бера 1. Функція Діріхле належить до класу Бера 2. Кожен клас Бера — непорожній. Існують функції, що не належать до жодного класу Бера. Множина берівських функцій (множина функцій, що належать до якогось класу Бера) збігається з множиною Борелівських функцій. Всі берівські функції вимірні. Кожна вимірна функція (за Лебегом) еквівалентна (тобто відрізняється на множині міри нуль) функції з класу Бера не вище ніж 2. Розривна функція належить до першого класу Бера тоді й лише тоді, коли вона має точку неперервності на кожній досконалій множині.
Джерела