Нерівність Птолемея в евклідовій геометрії пов'язує шість відстаней, визначених чотирма точками на площині або в просторі вищої розмірності. Вона стверджує, що для будь-яких чотирьох точок , , і виконується така нерівність:
Вона названа на честь грецького астронома й математика Птолемея.
Чотири точки можна впорядкувати будь-яким із трьох різних способів (вважаючи обернені порядки не різними), утворюючи три різні чотирикутники. Для кожного з них сума добутків протилежних сторін є не меншою за добуток діагоналей. Отже, три добутки, що входять до нерівності, можна адитивно переставляти так, щоб будь-який з них стояв у правій частині нерівності; тому три добутки протилежних сторін або діагоналей будь-якого з цих чотирикутників мають задовольняти нерівність трикутника..
Як окремий випадок, теорема Птолемея стверджує, що нерівність перетворюється на рівність, коли чотири точки розміщені в циклічному порядку на колі. Інший випадок рівності має місце тоді, коли чотири точки лежать на одній прямій у певному порядку. Нерівність не узагальнюється з евклідових просторів на довільні метричні простори. Ті простори, в яких вона зберігає силу, називаються птолемеєвими просторами; до них належать простори з внутрішнім добутком, простори Адамара та метрики найкоротших шляхів на птолемеєвих графах.
Передумови та виведення Нерівність Птолемея часто формулюють для спеціального випадку, коли чотири точки є вершинами опуклого чотирикутника, заданими в циклічному порядку.. Однак ця теорема застосовується значно загальніше — до будь-яких чотирьох точок; не вимагається, щоб утворений ними чотирикутник був опуклим, простим або навіть плоским.
Для точок на площині нерівність Птолемея можна вивести з нерівності трикутника за допомогою з центром в одній із чотирьох точок приписує доказ на основі інверсії підручникам Р. А. Джонсона (1929) та (1963)... Ії можна отримати іншим способом, інтерпретуючи чотири точки як комплексні числа та використовуючи тотожність для комплексних чисел:
щоб побудувати трикутник, довжини сторін якого дорівнюють добуткам сторін заданого чотирикутника, і застосувати до цього трикутника нерівність трикутника. Також точки можна розглядати як такі, що належать комплексній проєктивній прямій, виразити нерівність у вигляді твердження, що сума абсолютних значень двох подвійних відношень цих точок не менша за одиницю, і вивести це з того факту, що самі подвійні відношення в сумі дорівнюють рівно одиниці..
Доведення цієї нерівності для точок у тривимірному просторі можна звести до випадку на площині. Для цього достатньо зауважити, що для будь-якого просторового (неплоского) чотирикутника можна обертати одну з точок навколо діагоналі доти, доки чотирикутник не стане плоским. При цьому довжина іншої діагоналі збільшиться, а решта п'ять відстаней залишаться незмінними. У просторах вищої розмірності, ніж три, будь-які чотири точки лежать у тривимірному підпросторі, тому можна застосувати те саме доведення для тривимірного випадку.
Випадок чотирьох точок на одному колі
Для чотирьох точок, розташованих у певному порядку на колі, нерівність Птолемея перетворюється на рівність, відому як теорема Птолемея:
У доведенні нерівності Птолемея за допомогою інверсії перетворення чотирьох точок, що лежать на одному колі, інверсією з центром в одній із них приводить до того, що три інші точки стають колінеарними; тому рівність трикутника для цих трьох точок (з якої можна вивести нерівність Птолемея) також переходить у рівність. Для будь-яких інших чотирьох точок нерівність Птолемея є строгою.
У трьох вимірах Чотири некомпланарні точки , , та у тривимірному просторі утворюють тетраедр. У цьому випадку має місце строга нерівність: .
У загальних метричних просторах
Нерівність Птолемея виконується в більш загальному випадку — у будь-якому просторі з внутрішнім добутком, і якщо вона виконується для дійсного нормованого векторного простору, то цей простір обов'язково є простором з внутрішнім добутком...
Для інших типів метричних просторів, ця нерівність може виконуватися або не виконуватися. Простір, у якому вона виконується, називають птолемеєвим. Наприклад, розглянемо циклічний граф з чотирма вершинами, зображений на рисунку, у якому всі ребра мають довжину 1. Сума добутків протилежних сторін дорівнює 2. Проте діаметрально протилежні вершини знаходяться на відстані 2 одна від одної, тому добуток діагоналей дорівнює 4, що більше за суму добутків сторін. Отже, метрики найкоротших шляхів у цьому графі не є птолемеєвими. Графи, в яких відстані задовольняють нерівність Птолемея, називають птолемеєвими графами вони мають обмежену структуру порівняно з довільними графами; зокрема, в них заборонені породжені шляхи довжини більшої за три, такі як показаний на рисунку..
До птолемеєвих просторів належать усі і, зокрема, всі простори Адамара. Якщо повний ріманів многовид є птолемеєвим, то він обов'язково є простором Адамара..
Простори з внутрішнім добутком
Нехай — норма на векторному просторі Тоді ця норма задовольняє нерівність Птолемея: для всіх векторів тоді й лише тоді коли на існує внутрішній добуток такий, що для всіх векторів . Іншою необхідною та достатньою умовою існування такого внутрішнього добутку є виконання правила паралелограма: для всіх векторів Якщо ця умова виконується, то відповідний внутрішній добуток є єдиним і його можна визначити через норму за допомогою поляризаційної тотожності.
Див. також
Давньогрецька математика — математика Давньої Греції та Середземномор'я, V ст. до н. е. — VI ст. н. е. Правило паралелограма — суми квадратів сторін і діагоналей є рівними. Поляризаційна тотожність — формула, що пов'язує норму та внутрішній добуток у просторі з внутрішнім добутком. Клавдій Птолемей — греко-римський астроном і географ ( 100—170 рр. н. е.). — тригонометрична таблиця II ст. н. е. Теорема Птолемея — встановлює співвідношення між чотирма сторонами та двома діагоналями чотирикутника, вершини якого лежать на одному колі.
Примітки
Джерела