Супутня матриця () нормованого многочлену
це квадратна матриця визначена як
Коли - стандартний базис маємо
В літературі іноді подають супутню матрицю у транспонованому вигляді.
Характеристики Характеристичний поліном так як і мінімальний многочлен дорівнює .
У певному сенсі, матриця є «супутньою» до многочлена .
Якщо — n*n матриця з елементами з деякого поля , тоді наступні твердження тотожні: — подібна супутній матриці її характеристичного многочлена над характеристичний многочлен матриці збігається з мінімальним многочленом матриці , тотожно мінімальний многочлен має степінь існує циклічний вектор у для , що означає, що {v, Av, A2v, ..., An−1v} — базис V.
Не кожні квадратна матриця подібна супутній. Але кожна матриця подібна матриці складеній з блоків супутніх матриць. Більше того, ці супутні матриці можна підібрати так, що їх многочлени ділитимуть один одного; тоді вони унікально визначені . Це буде Фробеніусова нормальна форма .
Зведення до діагонального виду Якщо має різні корені (власні значення C(p)), тоді C(p) можна діагоналізувати так:
де — визначник Вандермонда відповідних — коренів.
Лінійні рекурентні послідовності Транспонована супутня матриця
характеристичного полінома
породжує лінійну рекурентну послідовність , в такому сенсі
де елементи послідовності задовольняють системі лінійних рівнянь
для усіх .
Див. також Теорема Гамільтона — Келі
Джерела
Примітки