Хвильове́ рівня́ння — рівняння, яке описує розповсюдження хвиль у просторі.
Хвильове рівняння є зазвичай диференціальним рівнянням другого порядку з частковими похідними гіперболічного типу, хоча існують хвильові рівняння інших порядків та інших типів.
У одновимірному випадку хвильове рівняння записується так:
де u — невідома функція, яка описує хвилю, x — просторова координата, t — час, s — фазова швидкість поширення хвилі.
Розв'язки
Хвильові рівняння мають багато можливих розв'язків. Реалізація того чи іншого із них залежить від граничних та початкових умов: від того, як хвиля народилася, які перешкоди зустрічає на своєму шляху тощо.
Загальний розв'язок хвильового рівняння подається суперпозицією функцій типу
де — амплітуда хвилі, k — хвильове число, ω — кутова частота, — фаза хвилі.
Хвильове число та частота зв'язані між собою дисперсійним співвідношенням
Інші типи хвильових рівнянь
Вільна частка описується у квантовій механіці рівнянням Шредінгера. Це рівняння параболічного типу, проте комплексне.
Дисперсійне співвідношення у ньому зв'язує енергію частки із її хвильовим вектором.
У релятивістській квантовій механіці використовуються рівняння Дірака, рівняння Клейна — Ґордона тощо. Ці рівняння теж описують поширення хвиль, тож належать до групи хвильових рівнянь.
Джерела
Nonlinear Wave Equations by Stephen Wolfram and Rob Knapp, Nonlinear Wave Equation Explorer by Wolfram Demonstrations Project. Mathematical aspects of wave equations are discussed on the Dispersive PDE Wiki Graham W Griffiths and William E. Schiesser (2009). Linear and nonlinear waves. Scholarpedia, 4(7):4308. doi:10.4249/scholarpedia.4308