Логари́фм, або логари́тм, (від — «слово», і — «число») — число (показник степеня, степінь), яке показує, до якого степеня слід піднести число (основу), щоб одержати число .
Основна логарифмічна тотожність: або , де , та .
Логарифми ввів Джон Непер на початку XVII століття як засіб спрощення розрахунків. Їх швидко почали застосовувати науковці та інженери для пришвидшення виконання обчислень із застосуванням логарифмічних лінійок і таблиць логарифмів. Логарифм дозволяє прискорити множення багатозначних чисел шляхом складання їхніх логарифмів. Наприклад, візьмімо два числа, які потрібно помножити: і . За допомогою таблиці логарифмів подивімося, що за основою ці числа мають логарифми (степені) і відповідно. Тобто, i . Таким чином, . Виходить, що логарифмом добутку чисел і , за основою , є число . З таблиці логарифмів легко знайти результат .
Сучасне означення логарифмів увів Леонард Ейлер, який у XVIII столітті пов'язав їх з показниковою функцією.
Позначення
Позначення: (логарифм числа за основою )
Існують особливі позначення для: натуральних логарифмів (логарифмів за основою e):
десяткових логарифмів (логарифмів за основою 10):
двійкових логарифмів (логарифмів за основою 2):
Логарифми винайшов Джон Непер на початку XVII століття як засіб для спрощення розрахунків і відтоді їх широко використовують у науці, техніці. До винайдення комп'ютерів логарифмічна лінійка та таблиці логарифмів були повсякденним інструментом інженера.
Властивості Формула Приклад Добуток Частка Степінь Корінь
Ці властивості зробили логарифм надзвичайно корисною функцією. Додавання та віднімання набагато простіші операції ніж множення та ділення, й, маючи таблицю логарифмів, можна сильно спростити складні обчислення.
Формула
дозволяє переходити від одної основи до іншої.
Інші тотожності:
Логарифмічна функція
Логарифмічна функція ставить у відповідність кожному значенню змінної її логарифм за наперед обраною основою .
Властивості логарифмічної функції: множина визначення логарифмічної функції , логарифмічна функція є монотонною, причому є зростаючою, якщо є спадною, якщо логарифмічні функції за різними основами є пропорційними, функція є оберненою до показникової функції , похідна логарифмічної функції:
первісна логарифмічної функції: (див. також таблицю інтегралів логарифмічних функцій) похідна від логарифму функції називається логарифмічною похідною
спеціальна функція інтегральний логарифм:
розклад у ряд Тейлора
стала Ейлера—Маскероні
Натуральні логарифми
Зв'язок з десятковим логарифмом: .
Як зазначено вище, для похідної натурального логарифму справедлива проста формула:
З цієї причини у математичних дослідженнях дуже часто використовують саме натуральні логарифми. Вони часто з'являються при розв'язку диференціальних рівнянь, дослідженні статистичних закономірностей (наприклад, розподіл простих чисел) тощо.
Невизначений інтеграл від натурального логарифму легко знайти інтегруванням за частинами:
Розклад у ряд Тейлора може бути представлений наступним чином: при наступна рівність є справедливою
Зокрема,
Формула (1) не має великої практичної цінності через те, що ряд дуже повільно сходиться і значення є обмеженим у доволі вузькому діапазоні. Однак, не складно отримати з неї зручнішу формулу:
Цей ряд сходиться швидше, а крім цього, ліва частина формули тепер може виразити логарифм будь-якого додатного числа.
Двійкові логарифми Логарифми за основою 2 широко застосовуються в теорії інформації. Двійковий логарифм натурального числа дозволяє визначити число цифр у внутрішньому комп'ютерному (бітовому) поданні цього числа: (дужки позначають цілу частину числа).
Інформаційна ентропія — міра кількості інформації, також заснована на двійкових логарифмах.
Оцінка асимптотичної складності рекурсивних алгоритмів, заснованих на принципі «розділяй та володарюй» — таких, як швидке сортування, швидке перетворення Фур'є, двійковий пошук виконується з використанням двійкових логарифмів.
У теорії музики, щоб вирішити питання про те, на скільки частин ділити октаву, потрібно відшукати раціональне наближення для Якщо розкласти це число в безперервний дріб, то третій дріб, що підходить, (7/12) дозволяє обґрунтувати класичний розподіл октави на 12 півтонів.
Десяткові логарифми
Логарифми за основою 10 (позначаються як ) до винайдення калькуляторів широко використовували для обчислень. Нерівномірна шкала десяткових логарифмів зазвичай наноситься і на логарифмічні лінійки. Подібну шкалу використовують у багатьох галузях науки, наприклад: Фізика — інтенсивність звуку (децибели). Астрономія — шкала яскравості зірок. Хімія — активність водневих іонів (pH). Сейсмологія — шкала Ріхтера. Теорія музики — нотна шкала, по відношенню до частот нотних звуків. Історія — логарифмічна шкала часу.
Логарифмічну шкалу також широко використовують для виявлення показника степеня у показникових залежностях і коефіцієнта у показнику експоненти. При цьому графік, побудований у логарифмічному масштабі по одній або двох осях, приймає вигляд прямої, яка є простішою для дослідження.
Логарифмічна функція комплексної змінної
Визначення і властивості Для комплексних чисел логарифм визначається так само як і для дійсних. На практиці використовують майже завжди натуральний комплексний логарифм, який позначають як і визначають як множину всіх комплексних чисел таких, що . Комплексний логарифм існує для будь-якого , і його дійсна частина визначається однозначно, тоді як уявна частина має нескінченну множину значень. З цієї причини його називають багатозначною функцією. Якщо представити у показниковій формі: , то логарифм знаходиться за формулою:
Тут — дійсний логарифм, , — довільне ціле число. Значення, що отримуємо при , називається головним значенням комплексного натурального логарифму; прийнято брати значенням аргументу у ньому в інтервалі . Відповідна (вже однозначна) функція називається головною гілкою логарифму і позначається . Інколи через також позначають значення логарифму, що лежить не на головній гілці.
З формули маємо наступні наслідки: Дійсна частина логарифму визначається за формулою:
Логарифм від'ємного числа знаходиться за формулою:
Оскільки комплексні тригонометричні функції пов'язані з експонентою (формула Ейлера), то комплексний логарифм як функція, що обернена до експоненти, пов'язаний з оберненими тригонометричними функціями. Приклад такого зв'язку:
Приклади Наведемо головне значення логарифму для деяких аргументів:
Потрібно бути обережним при перетвореннях комплексних логарифмів, беручи до уваги, що вони багатозначні, тому з рівності логарифмів будь-яких виразів не виходить рівність цих виразів. Приклад помилкових міркувань: — неправильно (суперечність). Відзначимо, що зліва стоїть головне значення логарифма, а справа — значення з нижчої гілки (). Причина помилки — неправильне використання властивості , яка, загалом, справджується у випадку комплексних чисел для всього нескінченного набору значень логарифма, а не тільки для головного значення.
Аналітичне продовження
Логарифм комплексного числа також може бути визначений як аналітичне продовження дійсного логарифму на всю комплексну площину. Нехай крива починається в одиниці, не проходить через нуль і не перетинає від'ємну частину дійсної осі. Тоді головне значення логарифму в кінцевій точці кривої можна визначити за формулою:
Якщо — проста крива (без самоперетину), то для чисел, що лежать на ній, логарифмічні тотожності можна застосовувати без обмежень, наприклад
Якщо дозволити кривій перетинати від'ємну частину дійсної осі, то перший такий перетин переносить результат з гілки головного значення на сусідню гілку, а кожен наступний перетин викликає аналогічне зміщення по гілках логарифмічної функції (дивіться рисунок).
Із формули аналітичного продовження виходить, що на будь-якій гілці логарифму
Для будь-якого околу , що містить точку :
Інтеграл береться у додатному напрямку (проти годинникової стрілки). Ця тотожність лежить в основі теорії лишків.
Можна також визначити аналітичне продовження комплексного логарифма за допомогою ряду, що наведений вище (1), і який узагальнений для випадку комплексного аргументу. Однак із вигляду розкладу в ряд маємо наслідок, що він дорівнює нулю в одиниці, тобто ряд відноситься лише до головної гілки багатозначної функції комплексного логарифма.
Поверхня Рімана Комплексна логарифмічна функція — приклад поверхні Рімана; її уявна частина (рисунок 3) складається з нескінченного числа гілок, що закручені у вигляді спіралі. Ця поверхня однозв'язна; єдиний її нуль (першого порядку) отримуємо при , особливі точки: і (точки розгалуження нескінченного порядку).
Ріманова поверхня логарифму є універсальним накриттям для комплексної площини без точки .
Історія
Ще у VIII столітті індійський математик Вірасена розвинув концепцію ардхакчеди, що означала скільки разів число виду 2n можна поділити на два. Для чисел, які не є цілими степенями двійки ардхакчеда залишалася невизначеною. Він описав також трікачеду та чатуртхачеду — відповідні числа для основ 3 і 4, part 3-4-5, book 4. 1544 року Міхаель Штифель опублікував у Нюрнбергу книгу Arithmetica integra з таблицею цілих чисел і степенів двійки, які їм відповідають. Ці ранні дослідження можна вважати попередниками логарифмів.
Метод логарифмування був опублікований Джоном Непером у 1614 році в книзі під назвою Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Опис чудового правила логарифмів). Незалежно від Непера логарифми відкрив Юст Бурґі, але його публікація з'явилася на 6 років пізніше.
Непер не тільки сформулював правило множення чисел з використанням логарифмів, а й побудував перші логарифмічні таблиці. Методом повторного віднімання Непер обрахував для L від 1 до 100. Для L=100 результат приблизно дорівнює 0.99999 = 1 − 10−5. Далі він порахував добутки цих чисел при множенні на для L від 1 до 50, і, аналогічно, добутки цих чисел при множенні на й . Обчислення тривали 20 років. Як наслідок він отримав число L, яке є розв'язком рівняння
для чисел від 5 до .
Спочатку Непер назвав L штучним числом, але потім запровадив новий термін — логарифм. У сучасній нотації з використанням натуральних логарифмів це співвідношення має вигляд
де наближення відповідає тому, що
з дуже малою похибкою.
Дуже швидко винахід Непера здобув широке визнання. Роботи італійця Бонавентури Кавальєрі та німця Йоганна Кеплера розвинули і вдосконалили концепцію, section 2. 1620 року Едмунд Вінґейт збудував першу логарифмічну лінійку.
1647 року Грегуар де Сент-Вінсент отримав зв'язок між логарифмом та квадратурою гіперболи, зауваживши, що площі під графіком функції між 1 та числами a та b задовольняють співвідношенню: .
Натуральні логарифми були вперше описані Нікола Меркаром у праці Logarithmotechnia 1668 року, хоча ще у 1619 вчитель математики Джон Спейделл складав таблицю натуральних логарифмів, p. 152.
Приблизно 1730 року Леонард Ейлер дав означення експоненти та натурального логарифма як
Ейлер показав, що ці функції обернені одна одній, sections 1, 13, section 9-3, p. 484, 489.
Деякі практичні застосування
Логарифмічна лінійка
Логарифмі́чна лінійка — аналоговий обчислювальний пристрій, що дозволяє виконувати кілька математичних операцій, основними з яких є множення і ділення чисел.
Найпростіша логарифмічна лінійка складається з двох шкал у логарифмічному масштабі, що здатні пересуватися одна відносно одної. Складніші лінійки містять додаткові шкали і прозорий повзунок з кількома поділками. На зворотній стороні лінійки можуть знаходитися різні довідкові матеріали.
За допомогою додаткових шкал можна здійснювати піднесення до степеня (частіше всього до квадрата і куба), обчислення логарифмів, тригонометричних функцій та обернених операцій (добування квадратних і кубічних коренів, обчислення експоненти та обернених тригонометричних функцій), перетворення величин між різними системами (наприклад, кіловатів на кінські сили чи навпаки) та деякі інші операції.
Принцип дії