Аксіоматика Гільберта — аксіоматика евклідової геометрії. Розроблена Гільбертом як повніша, ніж система аксіом Евкліда.
Неозначувані поняття Неозначуваними поняттями в системі аксіом Гільберта є: точка, пряма, площина. Є також 3 елементарні відношення: Лежати між (стосується точок); Належати (стосовно точок і прямих, точок і площин, прямих і площин); Конгруентність (геометрична рівність; стосується відрізків, кутів, трикутників тощо). Позначається символом ≅. Всі точки, прямі та площини вважаються різними, якщо не зазначено інше.
Аксіоми Система з 20 аксіом поділена на 5 груп:
I. Аксіоми належності планіметричні: Якими б не були точки та , існує пряма , якій належать ці точки. Якими б не були дві різні точки та , існує не більше однієї прямої, якій належать ці точки. Кожній прямій належать принаймні дві точки. Існують принаймні три точки, що не належать одній прямій. стереометричні: Якими б не були три точки , та , що не належать одній прямій, існує площина , якій належать ці три точки. Кожній площині належить принаймні одна точка. Якими б не були три точки , та , що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, якій належать ці три точки. Якщо дві різні точки та , що належать одній прямій , належать деякій площині , то кожна точка, що належить прямій , належить вказаній площині. Якщо існує одна точка , яка належить двом площинам та , то існує принаймні ще одна точка , яка належить обом цим площинам. Існують принамні чотири точки, які не належать одній площині.
II. Аксіоми порядку Якщо точка прямої лежить між точками та , то , та — різні точки прямої, причому лежить також між точками та . Для довільних двох різних точок та на прямій, що ними визначається, існує принаймні одна точка , що лежить між точками та , та існує принаймні одна точка , така що точка лежить між точками та . Серед довільних трьох точок, які лежать на одній прямій, існує одна і лише одна точка, що лежить між двома іншими. Аксіома Паша. Якщо у довільній площині дано трикутник і довільну пряму, що не проходить через одну з його вершин і перетинає сторону , то ця пряма перетне одну і лише одну з двох інших сторін чи .
III. Аксіоми конгруентності Якщо та — дві точки прямої , — точка на цій же прямій чи на іншій прямій , то по задану від точки сторону прямої знайдеться, і при цьому лише одна, точка , така що відрізок конгруентний відрізку . Кожен відрізок конгруентний відрізку . Якщо відрізки та конгруентні одному і тому ж відрізку , то вони конгруентні між собою. Нехай та — два відрізки прямої , які не мають спільних внутрішніх точок, і — два відрізки тієї ж прямої чи іншої прямої , які також не мають спільних внутрішніх точок. Тоді якщо відрізок конгруентний відрізку , а відрізок конгруентний відрізку , то відрізок конгруентний відрізку . Якщо дано кут та промінь , що лежить в площині даного кута, то існує рівно два промені та , які також лежать в площині даного кута, такі, що конгруентний та конгруентний . Якщо для двох трикутників та мають місце конгруенції: , , , то завжди мають місце й конгруенції: , .
IV. Аксіома паралельності Для аксіоми паралельності Гільберт обрав не евклідове формулювання, а еквівалентне йому та більш просте — аксіому Прокла: Нехай — довільна пряма і — точка, що їй не належить; тоді в площині, яка визначається точкою й прямою , можна провести не більше однієї прямої, яка проходить через і не перетинає .
V. Аксіоми неперервності Аксіома Архімеда. Нехай — довільна точка на прямій між довільними точками та . Побудуємо точки , , , … так, що точка знаходиться між точками та , між та , між та і т. д., при цьому відрізки , , , , . . . рівні між собою. Тоді завжди існує така точка , що точка лежить між та . Аксіома повноти. Точки прямої (площини) утворюють таку систему точок, яку неможливо доповнити новими точками без порушення раніше встановлених аксіом.
21-а аксіома Спочатку аксіоматика Гільберта містила ще й 21-у аксіому:
«Довільним чотирьом точкам на прямій можна присвоїти імена , , , і так, щоб точка лежала між точками і , а також між і ; точка — між і , а також між і ».
Е. Г. Мур та Р. Л. Мур незалежно один від одного показали, що ця аксіома надлишкова і Е. Г. Мур в 1902 році опублікував цей результат у статті Transactions of the American Mathematical Society. Цю «аксіому» можна вивести з аксіом належності та порядку.
Повнота і несуперечність Як довів Альфред Тарський (1951), аксіоматика Гільберта логічно повна, тобто будь-яке (формальне) висловлювання про геометричні поняття, що містяться в ній може бути доведено або спростоване. Вона також несуперечлива, якщо несуперечлива арифметика.
Історія
Аксіоматику евклідової геометрії було опубліковано Давидом Гільбертом у 1899 році у святковому томі «Festschrift», присвяченому відкриттю в Ґетінґені пам'ятника Карлу Фрідріху Гаусу та його другові фізику Вільгельму Веберу. Нині «Основи геометрії» перекладено багатьма мовами світу.
Інші системи аксіом Догільбертові системи аксіом геометрії: Аксіоматика Евкліда
Аксіоматика Пеано (включає поняття «рух») Аксіоматика Веронезе (1899)
Подібні гільбертовій: Аксіоматика Кагана (1902) Аксіоматика Веблена (1904) Аксіоматика Колмогорова Аксіоматика Александрова Аксіоматика Погорєлова
Сучасні аксіоматики:
Аксіоматика Біркгофа — містить «аксіому лінійки» та «аксіому транспортира». Її варіанти використовуються в більшості американських шкільних підручників, до неї близька аксіоматика Погорєлова. Аксіоматика Вейля — оперує неозначуваними поняттями точки та вільного вектора. Пряма та площина визначаються як множини точок.
Примітки
Посилання Д. Гільберт. Основания геометрии. Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. Л., «Сеятель», 1923. — 152 с. Герман Вейль. Давид Гильберт и его математические труды. GeoGebraКнига: Аксіоми геометрії (Гільберт)