Осцилятор Ван дер Поля є одним з класичних прикладів неконсервативного коливання в динамічних системах з нелінійним згасанням. Система задовольняє звичайне диференціальне рівняння другого порядку , де (насправді функція часу ) означає позицію точки в одновимірному фазовому просторі, скалярний параметр який контролює нелінійність та згасання. Коли , тобто коли згасання відсутнє, рівняння спрощується до (консервативного) гармонічного осцилятора
Двовимірна форма
Коли , нульовий розв'язок системи нестійкий. За допомогою теореми Ліенара можна довести що система має стійкий граничний цикл. Нехай , тоді систему можна записати у двовимірному просторі якKaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240–244, (1995).
або, якщо взяти ,
Вимушені коливання
Осцилятор Ван дер Поля з вимушеними коливаннями під впливом зовнішньої періодичної сили можна записати наступним чином
де задає амплітуду, а кутову швидкість.
Історія Осцилятор був вперше досліджений голландським фізиком Балтазаром Ван дер Полом та був названий на його честь.
Рівняння Ліенара, назване на честь французького інженера Альфред-Марі Ліенара, є узагальненням системи Ван дер Поля.
Посилання