Аномалією у квантовій фізиці називається явище принципового порушення симетрії, притаманної класичній теорії, у відповідній квантовій теорії. Історична назва аномалії походить із того, що з нею, як правило, пов'язане порушення очікуваного з класичної фізики «нормального» закону збереження струму, що відповідає симетрії; при цьому аномальний закон збереження у відповідній квантовій теорії є природним, незважаючи на назву. Причиною виникнення більшості аномалій у квантовій теорії є відсутність регуляризації нескінченностей (які виникають у квантовій теорії внаслідок існування у ній формально нескінченного числа ступенів вільності квантової системи), яка зберігала б усі класичні симетрії.

Аномалії мають надзвичайно важливе значення як у теоретичній, так і в експериментальній фізиці. Причиною цього є, зокрема, універсальність аномалій — вони принципово виникають у будь-якій квантовій теорії, що видно, зокрема, із формалізму інтеграла за траєкторіями. Іншою причиною є те, що аномалії та їх наслідки часто можуть бути досліджені без детального вивчення динаміки теорії, у якій вони виникають. Прикладом застосувань квантової аномалії в теоретичній фізиці є умова незалежності будь-якої самоузгодженої квантової теорії поля від калібрувальних квантових аномалій, тобто, аномалія накладає принципові обмеження на побудову квантової теорії. З іншого боку, явища, що зумовлюються іншими класами аномалій, приводять до широкого класу спостережуваних явищ, що фіксуються експериментом; наприклад, масштабна аномалія вводить масштаб конфайнменту у квантовій хромодинаміці, даючи головний внесок у масу нуклонів (а отже, і всієї звичайної матерії), а аксіальна хіральна аномалія приводить до існування каналів розпаду

та на два фотони, який є сильно пригніченим у наївній хіральній ефективній теорії поля взаємодії мезонів, у якій хіральна симетрія є майже точною.

Окрім того, завдяки аномаліям є можливою перевірка великого класу розширень Стандартної моделі фізики частинок на досяжних нині енергіях, що використовується в сучасних експериментах з фундаментальної фізики із прискорювачами елементарних частинок.

Нижче використовуються одиниці , де швидкість світла у вакуумі, зведена стала Планка.

Історичний огляд

Аномалії симетрій, що пов'язані із законами збереження Наразі відомо два основні класи симетрій, асоційовані із законами збереження, які порушуються у квантовій теорії:

хіральна симетрія в теоріях із ферміонами, пов'язана із діраківською матрицею . Відповідна аномалія називається хіральною; масштабна симетрія, пов'язана з масштабними перетвореннями координат та полів. Відповідна аномалія називається масштабною.

Дослідження квантових аномалій почалося 1949 року, одразу після становлення сучасної квантової теорії поля зусиллями Фейнмана, Швінгера, Томонаги та Дайсона. З'явилася можливість робити послідовні адекватні розрахунки, а отже, послідовно зіставляти числові передбачення квантової теорії поля з експериментом.

Історія хіральної аномалії почалася в тому ж 1949 році, коли Дж. Стейнбергер, користуючись тогочасною моделлю нуклон-мезонної взаємодії, яка була попередницею квантової хромодинаміки, у своїй докторській дисертації обрахував амплітуду розпаду нейтрального пі-мезона на два фотони (). Відповідь чудово узгоджувалася з експериментом.

Проте з дослідженням фізики мезонів (зокрема, пі-мезона) стало зрозуміло, що вони грають роль псевдоголдстоунівських бозонів, які виникають унаслідок спонтанного порушення наближеної аксіальної симетрії сильної взаємодії (на той час квантова хромодинаміка ще не була побудована, і для опису процесів із мезонами застосовували так звані «low-energy»-теореми). Модель Стейнбергера суперечила ідеї про наближену аксіальну симетрію. Виправлений результат наївно узгоджувався з квантовою хромодинамікою, проте перебував у значно гіршій відповідності з експериментом: теоретична ймовірність розпаду пі-мезона була на три порядки меншою спостережуваної.

Зрештою в 1969 році С. Адлер і, незалежно від нього, Дж. Белл та Роман Яцків виявили, що наближена аксіальна симетрія квантової хромодинаміки порушується квантовими ефектами — аксіальною аномалією. Обчислена на основі їхнього аналізу ймовірність розпаду узгоджувалася з експериментом. За декілька років до того, у 1962 році, Джуліан Швінгер виявив, що квантова електродинаміка із безмасовими ферміонами у двох просторово-часових вимірах має порушення закону збереження аксіального струму, що при умові збереження калібрувальної інваріантності призводить до набуття фотоном маси. У 1969 році С. Адлер та показали, що у вираз для функції хіральної аномалії дають внесок лише однопетльові фейнманівські діаграми, тобто, що хіральна аномалія є непертурбативним ефектом.

Зрештою Герард 'т Гофт своїми працями вказав на важливе теоретичне та експериментальне значення аномалій, зокрема, порушення законів збереження баріонного та лептонного чисел та зв'язок спонтанного порушення симетрії в КХД із конфайнментом, а в 1979 році С. Н. Вергелес у своїй дисертації і незалежно від нього К. Фуджікава виявили, що у формулюванні КТП через інтеграл за траєкторіями, будь-яка хіральна аномалія міститься у ферміонній мірі континуального інтегрування, що використовується для визначення інтеграла за траєкторіями.

Початок вивчення масштабної аномалії пов'язаний зі становленням теорії ренормалізаційної групи (ренормгрупи), основна ідея якої — в постулюванні незалежності значень вимірюваних величин від масштабу перенормування. Масштабну аномалію вперше дослідив у 1970 році К. Каллан на прикладі теорії скалярного поля із самодією. Він виявив, що процедура перенормування явно порушує вигляд диференціальних рівнянь на перемасштабовані величини теорії, які прямо слідують із масштабної інваріантності; а саме, диференціальні рівняння на функції Гріна, які описують динаміку останніх при перемасштабуванні імпульсів, і які дотримуються наївного класичного аналізу перемасштабування просторово-часових координат та квантових полів, відрізняються від диференціальних рівнянь, які враховують ефекти регуляризації та перенормування — біжучу константу взаємодії та полів.

У 1974 році та Д. М. Кеппер (Derek Malvern Capper) у своїй статті продемонстрували, що масштабна аномалія порушує інваріантність квантової теорії з гравітонами та безмасовими полями матерії відносно конформних перетворень метрики та полів матерії (інваріантність у класичній теорії вперше продемонстрував Герман Вейль у 1918 році, тому відповідну аномалію часто називають вейлівською). У 1977 році , та С. Д. Джодлекар (Satish D. Joglekar) розвинули формалізм масштабної аномалії в термінах інтеграла за траєкторіями.

Аномалії симетрій, що не пов'язані із законами збереження

Окрім того, існують також квантові аномалії симетрій, не пов'язаних із законами збереження. Їх поява, хоч і не призводить до порушення закону збереження струму, може приводити до несумісності квантової теорії через невизначеність основних величин (наприклад, S-матриці, або, що еквівалентно, генерувального функціонала). Основних типів таких аномалій — два: віттенівська SU(2) аномалія та редліхівська аномалія.

У 1982 році Едвард Віттен дослідив поведінку генерувального функціонала квантової теорії з хіральними ферміонами та групою симетрії SU(2) відносно топологічно нетривіальних . Він виявив, що за деяких значень кількості N різних хіральних ферміонів теорія є несумісною.

А у 1983 році А. Н. Редліх (A.N. Redlich) досліджував поведінку квантових калібрувальних теорій у просторі-часі непарної розмірності відносно тих самих топологічно нетривіальних калібрувальних перетворень. Він виявив, що теорія типу описаної вище є сумісною у тому випадку, якщо додати до початкової дії теорії доданок, що порушує просторову парність.

Причина порушення класичних симетрій у квантовій теорії поля

Класичні симетрії Симетрія — деяке перетворення простору (координатного чи фазового), яке залишає незмінними спостережувані величини. Наприклад, у класичній механіці спостережуваною величиною може бути число частинок, а у квантовій механіці — густина ймовірності. Зокрема, в лагранжевому формалізмі класичної фізики симетрія визначається як перетворення полів та координат, яке залишає дію (інтеграл від функції Лагранжа) незмінною.

Неперервні глобальні симетрії (наприклад, повороти у тривимірному просторі) в теорії мають наслідком, відповідно до теореми Нетер, закони збереження струмів . Зокрема, глобальна симетрія (індуковані якою перетворення не залежать від просторово-часових координат) теорії відносно зсуву просторово-часових координат має наслідком закон збереження тензора енергії-імпульсу, симетрія відносно перетворень групи Лоренца (лоренцівських бустів та поворотів у просторі) — закон збереження тензора моменту імпульсу та спіну, і т. д. Існують також менш очевидні симетрії, зокрема — симетрії відносно глобальних фазових перетворень, що відповідають закону збереження електричного заряду, баріонного та лептонного чисел тощо.

Неперервні локальні симетрії (з параметрами перетворення, які залежать від просторово-часових координат) вимагають коваріантного закону збереження відповідного струму.

У лоренц-інваріантному вигляді закон збереження 4-струму (три крапки позначають можливі інші індекси), що відповідає глобальній симетрії, має вигляд

де

коваріантна похідна в просторі-часі Мінковського.

Квантова аномалія класичної симетрії Розглянемо калібрувально-інваріантну теорію взаємодії зарядженого поля довільної природи (скалярного, векторного, спінорного тощо) із електромагнітним полем . В силу лоренц-інваріантності лагранжіан завжди буде містити принаймні білінійні функції полів (див. наприклад, випадок скалярного поля). Відповідно, і струми є білінійними функціями полів.

Наївну квантову теорію можна отримати з класичної через відповідність , ; тобто, класичні поля стають квантовими некомутуючими (в загальному випадку) операторами. Відповідно, , і наївний квантовий аналог класичного закону збереження струму має вигляд

де квантове середнє.

Така проста картина може порушуватись внаслідок відсутності перестановності полів . А саме, в залежності від того, є поле бозонним чи ферміонним, для операторів народження та знищення, лінійною комбінацією яких є поле , є справедливим комутаційне або антикомутаційне співвідношення типу

,

де дискретне число типу поляризації. Це означає, що квантові оператори полів не є перестановними; зокрема, якщо оператор є оператором поля діраківського спінора, що представляє частинки типу електронів, справедливою є рівність

,

де у правій частині рівності стоїть функція Дірака.

Внаслідок цього будь-яка білінійна функція квантових полів є погано визначеною (формально містить нескінченну частину), а отже, погано визначеними стають і оператори струмів. У квантовій теорії поля існує формальна процедура, яка довизначає величини типу білінійних форм так, щоб вони були добре визначеними. Вона включає в себе регуляризацію та перенормування основних величин теорії (для перенормовних теорій — полів, зарядів та мас ). Проте в загальному випадку довільна регуляризація може зруйнувати закон збереження струму, оскільки вона модифікує дію так, що втрачається властивість інваріантності відносно перетворення симетрії. Якщо регуляризацію, що зберігає дану симетрію , не можна знайти і, більш того, закон збереження не відтворюється навіть після виконання процедури перенормування (зняття регуляризації), то струм , що відповідає симетрії у квантовій теорії не зберігається:

,