Симплектичний многовид — це многовид із заданою на ньому симплектичною формою, тобто замкнутою невиродженою диференціальною 2-формою.
Симплектичний многовид дозволяє природним геометричним чином ввести механіку Гамільтона і дає наочне тлумачення багатьом її властивостям.
Означення Диференціальна 2-форма називається симплектичною структурою, якщо вона невироджена і замкнута, тобто її зовнішня похідна дорівнює нулю:
і для будь-якого ненульового дотичного вектора
де — операція підстановки вектора .
Многовид називається симплектичним, якщо на ньому задана симплектична структура.
Гамільтонові векторні поля Нехай — довільна функція на симплектичному многовиді. Симплектична структура ставить у відповідність 1-формам на особливий клас векторних полів, які називаються гамільтоновими, за правилом
В силу невиродженості форми векторне поле визначене однозначно, позначимо його . У канонічних координатах це відображення набуває вигляду
що відповідає рівнянням Гамільтона, при цьому називається функцією Гамільтона або гамільтоніаном. Дужки Пуассона перетворюють множину гамільтоніанів на у алгебру Лі і визначені за правилом
Пов'язані означення Дифеоморфізм симплектичних многовидів називається симплектоморфізмом, якщо він зберігає симплектичну структуру.
Властивості Теорема Дарбу: всі симплектичні многовиди локально симплектоморфні. Таким чином, в околі будь-якої точки многовиду можна вибрати канонічні координати, звані також координатами Дарбу, в яких симплектична структура набуває вигляду
При цьому в дотичному просторі кожної точки в даному околі виявляється обраний базис Дарбу. Гамільтонів фазовий потік зберігає симплектичну структуру:
Тут — похідна Лі за векторним полем . Таким чином, гамільтонів фазовий потік є симплектоморфізмом.
Контактна структура З кожним симплектичним 2n-мірним многовидом канонічним чином пов'язаний (2n + 1)-мірним контактний многовид, званий його контактизацією. Обернено, для будь-якого (2n + 1)-мірного контактного многовиду існує його симплектизація, що є (2n + 2)-мірним многовидом.
Узагальнення Многовид називається мультисимплектичним ступня , якщо на ньому задана замкнута невироджена диференціальна k-форма.
Див. також Спряжені змінні
Література
Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Изд. МГУ, 1988. — 414с.