В математиці, нерівність Шура, названа в честь німецького математика Іссаї Шура, стверджує, що для довільного додатнього дійсного числа та довільних невід'ємних дійсних чисел справджується наступна нерівність:
причому, рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або або два з чисел рівні між собою, а третє є нулем.
Найбільш вживаним та відомим є випадок при , коли дана нерівність набуває вигляду
Доведення Оскільки нерівність симетрична відносно змінних , то без обмеження загальності, вважатимемо . Тоді нерівність Шура стає рівносильною наступній нерівності:
яка виконується з огляду на те, що . Також, очевидно що рівність можлива лиш при або та . Врахувавши симетричні варіанти, маємо, що в початковій нерівності рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або або два з чисел рівні між собою, а третє є нулем, що і треба було довести.
Узагальнення Узагальненням нерівності Шура є наступна нерівність: для дійсних чисел та невід'ємних дійсних :
яка справджується коли виконується хоч одна з наступних умов: та та та та та та - сторони деякого трикутника - квадрати сторін деякого трикутника - сторони деякого трикутника - квадрати сторін деякого трикутника Існує опукла функція або монотонна , де - це інтервал, що містить числа , , , причому , , В 2007 році румунський математик Валентин Ворніку показав, що наступне узагальнення нерівності Шура справджується:
Якщо , причому та або чи і та є або опуклою, або монотонною, то справджується наступна нерівність:
Неважко переконатись, що при ця нерівність перетворюється в нерівність Шура.
Див. також Нерівність Нерівність Коші — Буняковського Нерівність Гельдера Нерівність трикутника Нерівність Єнсена
Посилання https://web.archive.org/web/20160426234320/http://web.mit.edu/~darij/www/VornicuS.pdf http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Vornicu-Schur_Inequality http://www.imomath.com/index.php?options=596