Вектор-функція — функція, значеннями якої є вектори у векторному просторі двох, трьох або більше вимірів. Аргументами функції можуть бути:
одна скалярна змінна — тоді значення вектор-функції визначають у деяку криву; скалярних змінних — тоді значення вектор-функції утворюють у , загалом, -вимірну поверхню; векторна змінна — в цьому випадку вектор-функцію зазвичай розглядають як векторне поле на .
Вектор-функція однією скалярною змінною Для наочності далі обмежимося випадком тривимірного простору, хоча поширення на загальний випадок не становить труднощів. Вектор-функція однієї скалярної змінної відображає певний інтервал дійсних чисел у множину просторових векторів (інтервал може також бути нескінченним).
Вибравши координатні орти , Ми можемо розкласти вектор-функцію на три координатні функції , , :
Розглянуті як радіус-вектори, значення вектор-функції утворюють у просторі деяку криву, для якої t є параметром.
Кажуть, що вектор-функція має границю у точці , якщо (тут і далі позначають модуль вектора ). Границя вектор-функції має звичайні властивості:
Границя суми вектор-функцій дорівнює сумі границь доданків (в припущенні, що вони існують). Границя скалярного добутку вектор-функцій дорівнює скалярному добутку границь множників. Границя векторного добутку вектор-функцій дорівнює векторному добутку границь множників.
Неперервність вектор-функції визначається традиційно.
Похідна вектор-функції за параметром Визначимо похідну вектор-функції за параметром:
.
Якщо похідна в точці існує, вектор-функція називається диференційовною в цій точці. Координатними функціями для похідної будуть .
Властивості похідної вектор-функції (всюди передбачається, що похідні існують):
— похідна суми є сумою похідних — тут f (t) — диференційовна скалярна функція. — диференціювання скалярного добутку. — диференціювання векторного добутку. — диференціювання мішаного добутку.
Про застосування вектор-функцій однієї скалярної змінної в геометрії див. Диференціальна геометрія кривих.
Вектор-функція декількох скалярних змінних Для наочності обмежимося випадком двох змінних у тривимірному просторі. Значення вектор-функції (їх годограф) утворюють, загалом, двовимірну поверхню, на якій аргументи можна розглядати як внутрішні координати точок поверхні.
У координатах рівняння має вид:
Аналогічно випадку однієї змінної, ми можемо визначити похідні вектор-функції, яких тепер буде дві: . Ділянка поверхні буде невиродженою (тобто в нашому випадку — двовимірною), якщо на ньому не перетворюється тотожно на нуль.
Криві на цій поверхні зручно задавати у вигляді:
,
де — параметр кривої. Залежності передбачаються диференційовними, причому в області, що розглядається, їх похідні не повинні одночасно перетворюватися на нуль. Особливу роль відіграють координатні лінії, що утворюють сітку координат на поверхні:
— перша координатна лінія. — друга координатна лінія.
Якщо на поверхні немає особливих точок ( ніде не перетворюється на нуль), то через кожну точку поверхні проходять рівно дві координатні лінії.
Докладніше про геометричні застосування вектор-функцій декількох скалярних змінних див. Теорія поверхонь.
Література Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1966. Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-е изд. УРСС, 2002) Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. 9-е изд. : Наука, 1965.