Малокутове наближення або апроксимація малих кутів це корисне спрощення базових тригонометричних функцій, яке буде досить точним при ліміті коли кут. Вони є усіченим рядом Тейлора для базових тригонометричних функцій за допомогою властивостей . Таке спрощення дає наступну формулу:
, де θ це кут в радіанах.
Апроксимація малих кутів корисна в багатьох застосуваннях фізики, включаючи механіку, електромагнетизм, оптику (де воно є основою паралаксіальної оптики), картографії, астрономії, та ін.
Обґрунтування
Графічне Точність наближення наглядно видно нижче на графіках 1 і 2. З тим як кут наближається до нуля, очевидно, що різниця між апроксимованою прямою і справжньою функцією значно зменшується.
Геометричне
В червоній частині справа, d, є різницею між довжиною гіпотенузи, H, і прилеглої сторони, A. Як видно, H і A мають приблизно однакову довжину, що означає що cos θ близький до 1 і дозволяє відкинути червону різницю.
Протилежна вертикальна сторона, O, приблизно дорівнює довжині синьої дуги, s. Узагальнюючи факти з геометрії, s = A*θ, із тригонометрії, sin θ = O/H і tan θ = O/A, а із зображення беремо що, і , що приводить до:
. Спростивши, отримаємо,
.
Алгебраїчне
Розширенням Маклорена (розкладання в ряд Тейлора при наближенні до 0) відповідної тригонометричної функції є
де θ це кут в радіанах. У більш простому вигляді,
Легко побачити що другий найзначиміший (viz., третього порядку) терм зменшується в кубічній пропорції відносно першого терму; тому, навіть для такого не дуже малого значення як 0.01, значення другого значимого терму буде мати порядок 0.000001, або одну десятитисячну від першого терма. Таким чином, можна сміливо апроксимувати:
В подальшому, оскільки значення косинуса малого кута дуже близький одиниці, а тангенс задається як відношення синуса до косинуса, маємо
.
Похибка апроксимації
Малюнок 3 показує похибку апроксимації малих кутів. Кути, при яких відносна похибка перевищує 1% є наступними: tan θ ≈ θ при приблизно 0.176 радіанах(10°). sin θ ≈ θ при приблизно 0.244 радіан (14°). cos θ ≈ 1 - θ2/2 при приблизно 0.664 радіан (38°).
Приклади застосування
Астрономія В астрономії, зображення, яке займає образ віддаленого об'єкта зазвичай має розмір лише в декілька арксекунд, тому в даному випадку досить добре застосовується малокутове наближення. Зв'язок лінійного розміру (D) із кутовим розміром (X) і дистанцією від спостерігача (d) задається простою формулою
D = X · d / 206,265
де X вимірюється в арксекундах.
Число 206,265 приблизно дорівнює кількості арксекунд в одному колі (1,296,000), розділене на 2π.
Точна формула має наступний вигляд:
D = d tan(X·2π/1,296,000)
а вищезгадане спрощення випливає із заміни tan(X) на X.
Примітки