В теорії категорій, підкатегорією категорії називається категорія , об'єкти якої є також об'єктами і морфізми якої є також морфізмами в , з тими ж тотожними морфізмами і правилами композиції. Інтуїтивно, підкатегорія одержується з видаленням деяких об'єктів і морфізмів.
Формальне визначення Нехай - категорія. Підкатегорія категорії задається за допомогою Підкласу об'єктів , що позначається :
Підкласу морфізмів , що позначаються і для довільних об'єктів :
Кожен тотожний морфізм в категорії є також тотожним морфізмом в категорії ; Для кожного морфізма в , його прообраз і образ належать ; Для кожної пари морфізмів f , g , таких що їх композиція визначається композицією цих морфізмів в категорії
З цих умов випливає, що теж є категорією. Існує очевидний строгий функтор , що називається функтором вкладення.
Види підкатегорій
Підкатегорія називається повною підкатегорією категорії , якщо для будь-якої пари об'єктів :
Підкатегорія називається називається замкнутою щодо ізоморфізмів, якщо будь-який ізоморфізм, такий що B належить , також належить . Замкнута щодо ізоморфізмів повна категорія називається строго повною.
Підкатегорія категорії називається широкою, якщо вона містить усі об'єкти . Зокрема, єдиною широкою повною категорією категорії є сама категорія .
Приклади
Категорія скінченних множин є повною підкатегорією категорії множин Set. Категорія, об'єктами якої є множини, а морфізмами — бієкції, є неповною підкатегорією категорії множин Set. Категорія Ab комутативних груп є повною категорією категорії груп Gr. Категорія кілець з одиницею (морфізми якої є гомоморфізмами, що зберігають одиниці) є неповною підкатегорією категорії кілець. Див. Також Теорія категорій
Література И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972. С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.