Метою цієї статті є висвітлення важливих моментів виведення рівнянь Нав'є — Стокса, а також його застосування та формулювання для різних сімейств рідин.
Основні припущення Рівняння Нав'є — Стокса ґрунтуються на припущенні, що рідина в масштабах інтересу є континуумом, інакше кажучи, вона не складається з дискретних часток, а є суцільною речовиною. Інше необхідне припущення полягає в тому, що всі поля, що представляють інтерес, як тиск, швидкість потоку, щільність і температура, диференційовані, принаймні мають слабку похідну.
Рівняння виходять з основних принципів нерозривності маси, імпульсу та енергії. Для цього іноді необхідно розглянути кінцевий довільний об'єм, який називається контрольним об'ємом, до якого ці принципи можуть бути застосовані. Цей кінцевий об'єм позначається літерою а його гранична поверхня . Контрольний об'єм може залишатися фіксованим у просторі і може рухатися разом з рідиною.
Матеріальна похідна Зміна властивостей рухомої рідини може бути виміряти двома різними способами. Можна виміряти дану властивість у фіксованій точці в просторі, коли частинки рідини проходять крізь неї, або слідкуючи за частинками рідини що рухаються уздовж лінії току. Похідна поля від фіксованого положення в просторі називається похідною Ейлера, а похідна, що слідує за рухомою ділянкою, називається адвективною або матеріальною («лагранжевою») похідною.
Матеріальна похідна визначається як нелінійний оператор:
де є швидкість току рідини. Перший член у правій частині рівняння є звичайною евлерівською похідною (тобто похідною в фіксованій системі відліку, що представляє зміни в точці за часом), тоді як другий член являє собою зміну властивості відносно позиції (див. адвекція). Ця «особлива» похідна насправді є звичайною похідною від функції багатьох змінних вздовж ліній току рідини; вона може бути отриманий шляхом застосування ланцюгогого правила, в якому вконується диференціювання всіх незалежних змінних по черзі уздовж ліній току (тобто виконується обчислення загальної похідної уздовж ліній току).
Наприклад, вимірювання змін швидкості вітру в атмосфері можна отримати за допомогою анемометра на метеостанції або спостерігаючи за рухом метиозонду. Анемометр в першому випадку — це вимірювання швидкості всіх рухомих часток, що проходять повз фіксовану точку в просторі, тоді як у другому випадку метиозонд вимірює зміни швидкості, рухаючись разом з потоком.
Рівняння неперервності Рівняння Нав'є — Стокса є спеціальним рівнянням неперервності. Рівняння неперервності можна вивести з принципів збереження: Маса Імпульс Енергія Це робиться за допомогою рівняння нерозривності, що являє собою інтегральне співвідношення, яке визначає, що швидкість зміни (похідна) інтегралу на деякому контрольному об'ємі від деякої функції , повинна дорівнювати сумарним витратам потоку (приток і відток) через границю контрольного об'єму що позначається плюс сумарним витратам (приток і відток) елементарних джерел і стоків усередені контрольного об'єму. Це виражається наступним інтегральним рівнянням нерозривності:
де — це швидкість току рідини, — це одиничний вектор зовнішньої нормалі, і представляє собою елементарне джерело або елементарний стік рідини, вважаючи, що для стоку має позитивний знак.
Формула Остроградського може бути використана для переходу від інтегралу по поверхні до інтегралу по об'єму:
Застосовуючи теорему Рейнольдса про перенесення до лівої частини рівняння і об'єднуючи всі інтергали отримаємо:
Інтеграл має дорівнювати нулю для будь-якого контрольного об'єму ; а ця умова у свою чергу виконується, коли підінтегральній вираз сам дорівнює нулеві:
З цього важливого співвідношення (дуже загальне рівняння неперервності) можуть бути стисло написані три важливі поняття: збереження маси, збереження імпульсу та збереження енергії. Справедливість цього зберігається, якщо φ є вектором, в цьому випадку друга частина похідна вектор-векторний добутоку стане Діадою.
Рівняння збереження імпульсу Застосовуючи закон збереження імпульсу до потоку рідини можна отримати у загальному вигляді рівняння збереження імпульсу для потоку. Якщо інтенсивна властивість φ (така властивість, що не залежить від кількості речовини) є потоком маси (або потоком питомого імпульсу), то замінюючи її на добуток густини і швидкості потоку , отримаємо рівняння:
де є діадою, спеціальним випадком тензорного добутку, результатом якого є тензор другого рангу; дивергенція тензору другого рангу є вектор (тензор першого рангу). Розкриваючи дужки, користуючись правилом похідної від добутку отримаємо рівнянняЖ
Зверніть увагу на те, що градієнт вектору є спеціальним випадком коваріантної похідної, що в результаті дає тензор другого рангу, за винятком Декартової системи координат. Важливо розуміти, що це не є просто градієнтом, що обчислюється поелементно. Приймаючи це до уваги матимемо: :
Вираз у лівій дужці дорівнює згідно рівняння неперервності масси (для даного мометну часу) нулю.The leftmost expression enclosed in parentheses is, by mass continuity (shown in a moment), equal to zero. Зауважте, що решта лівої частини рівняння є похідною Лагранжа (індивідуальною, або субстанціональною похідною):
цей вираз, використовуючи оператор похідної Лагранжа запишеться:
Цей враз по суті є дугим законом Ньютона (F = ma) з точки зору об'ємних а не точкових сил. Кожен член рівнянь Нав'є — Стокса є об'ємною силою. Коротший, хоч і менш ретельний спосіб отримання цього результату, є застосування ланцюгового правила щодо функції прискорення:
де є функцією швидкості. Причиною того, що цей метод є «недостатньо ретельний» є той факт що ми не показали що вибір
є коректним; однак це має сенс, тому що з такий вибір похідної є «наслідком» поняття «частинки» рідини, а для того, щоб другий закон Ньютона працював, сили у рідині слід підсумовувати розглядаючи рінину що складається із частинок. Для цього конвективна похідна також відома як похідна «частки» рідини.
Рівняння збереження маси
Також можна розглянути масу. Приймаючи (відсутнє джерела або сток) і вводячи густину рідини:
де є густиною (масса у одиниці об'єму), і є швидкістю потоку рідини. Це рівняння називається рівнянням нерозривності масси, обо просто рівнянням нерозривності. Це рівняння зазвичай супроводжує рівняння Нав'є — Стокса.
У разі нестисливої рідини, (тобто щільність уздовж ліній току рідини, є сталою), і рівняння зменшується до рівняння:
що виражає збереження об'єму рідини.
Рівняння збереження імпульсу у формі Коші
The generic density of the momentum source seen previously is made specific first by breaking it up into two new terms, one to describe surface forces and one for body forces, such as gravity. By examining the forces acting on a small cube in a fluid, it may be shown that
where is the Cauchy stress tensor, and accounts for body forces present. This equation is called the Cauchy momentum equation and describes the non-relativistic momentum conservation of any continuum that conserves mass. is a rank two symmetric tensor given by its covariant components. In orthogonal coordinates in three dimensions it is represented as the 3x3 matrix:
where the are normal stresses and shear stresses. This matrix is split up into two terms:
where is the 3 x 3 identity matrix and is the deviatoric stress tensor. Note that the mechanical pressure p is equal to minus the mean normal stress:
The motivation for doing this is that pressure is typically a variable of interest, and also this simplifies application to specific fluid families later on since the rightmost tensor in the equation above must be zero for a fluid at rest. Note that is traceless. The Cauchy equation may now be written in another more explicit form:
This equation is still incomplete. For completion, one must make hypotheses on the forms of and , that is, one needs a constitutive law for the stress tensor which can be obtained for specific fluid families and on the pressure. Some of these hypotheses bring to Euler equations (fluid dynamics), other ones bring to Navier-Stokes equations. Additionally, if the flow is assumed compressible an equation of state will be required, which will likely further require a conservation of energy formulation.
Застосування до різного типу рідин
The general form of the equations of motion is not «ready for use», the stress tensor is still unknown so that more information is needed; this information is normally some knowledge of the viscous behavior of the fluid. For different types of fluid flow this results in specific forms of the Navier–Stokes equations.
Ньютонівська рідина
Стислива Ньютонівська рідина Ньютонівські рідини випливають з спостереження, зробленого Ньютоном, що для більшості рідин,
Щоб застосувати це до рівнянь Нав'є — Стокса, Стокс зробив три припущення:
Тензор напруги є лінійною функцією тензора швидкості деформації або еквівалентний градієнту швидкості. Рідина є ізотропною. Для рідини у стані спокою, має дорівнювати нулеві (у цьому випадку тиск у рідині рівний гідростатичному тиску).
The above list states the classic argumentMorse, P.M. and Ingard, K.U. «Theoretical Acoustics», Princeton University Press (1968) that the shear strain rate tensor (i.e. the (symmetric) shear part of the velocity gradient) is a pure shear tensor and does not include any inflow/outflow part (i.e. any compression/expansion part). This means that its trace is zero, and this is achieved by subtracting in a symmetric way from the diagonal elements of the tensor. The compressional contribution to viscous stress is added as a separate diagonal tensor.
Applying these assumptions will lead to:
That is, the deviatoric of the deformation rate tensor is identified to the deviatoric of the stress tensor, up to a factor μ.Landau and Lifshitz, Fluid Mechanics, Second Edition: Volume 6 (Course of Theoretical Physics) page 45
is the Символ Кронекера. μ and λ are proportionality constants associated with the assumption that stress depends on strain linearly; μ is called the first coefficient of viscosity or shear viscosity (usually just called «viscosity») and λ is the second coefficient of viscosity or volume viscosity (and it is related to bulk viscosity). The value of λ, which produces a viscous effect associated with volume change, is very difficult to determine, not even its sign is known with absolute certainty. Even in compressible flows, the term involving λ is often negligible; however it can occasionally be important even in nearly incompressible flows and is a matter of controversy. When taken nonzero, the most common approximation is λ ≈ - ⅔ μ.
A straightforward substitution of into the momentum conservation equation will yield the Navier–Stokes equations, describing a compressible Newtonian fluid:
where the transpose has been used. The body force has been decomposed into density and external acceleration, i.e. . The associated mass continuity equation is:
In addition to this equation, an equation of state and an equation for the conservation of energy is needed. The equation of state to use depends on context (often the ideal gas law), the conservation of energy will read:
Here, is the enthalpy, is the temperature, and is a function representing the dissipation of energy due to viscous effects:
With a good equation of state and good functions for the dependence of parameters (such as viscosity) on the variables, this system of equations seems to properly model the dynamics of all known gases and most liquids.
Нестисненна Ньютонівська рідина
For the special (but very common) case of incompressible flow, the momentum equations simplify significantly. Taking into account the following assumptions:
Viscosity will now be a constant The second viscosity effect The simplified mass continuity equation then looking at the viscous terms of the momentum equation for example we have:
Similarly for the and momentum directions we have and .