У математиці, G-областю або областю Гольдмана називається область цілісності A для якої поле часток є скінченнопородженою алгеброю над A. Названі на честь американського математика Оскара Гольдмана.

Ідеал I у комутативному кільці A називається G-ідеалом якщо фактор-кільце A/I є G-областю. G-ідеали є простими але не обов'язково максимальними.

Еквівалентні означення Область цілісності є G-областю якщо і тільки якщо для неї виконуються еквівалентні умови:

Його поле часток є простим розширенням області Його поле часток є скінченним розширенням області Перетин його ненульових простих ідеалів є ненульовим Існує елемент такий, що для кожного ненульового ідеалу , для деякого .Kaplansky, Irving. Commutative Algebra. Polygonal Publishing House, 1974, pp. 12, 13.

Дані характеристики G-області є еквівалентними. Справді з першої властивості тривіально випливає друга. Якщо натомість , то позначивши також і розширення є простим.

Якщо тепер то для будь-якого простого ідеалу у і ненульового елемента у полі виконується рівність для деяких . Тоді , тому . Тобто належить перетину усіх простих ідеалів. Тобто з першої характеристики випливає третя.

Якщо при цьому усі степені не належать деякому ненульовому ідеалу , то згідно теореми віддільності у статті Простий ідеал існує також простий ідеал якому не належать усі степені . Тобто з третьої характеристики випливає четверта.

Нехай тепер виконується четверта властивість і — довільний ненульовий елемент. Тоді головний ідеал містить деякий степінь елемента . Тобто для деяких виконується рівність і тому у полі часток . Зважаючи на довільність вибору елемента отримуємо, що з четвертої властивості випливає перша.

Приклади Будь-яке поле є G-областю. Кільце головних ідеалів є G-областю тоді і тільки тоді коли в ній є скінченна кількість простих елементів (з точністю до множення на оборотні елементи). Якщо є областю цілісності то кільце многочленів не є G-областю. Нехай — поле часток кільця . Якщо є G-областю, то G-областю є також . Кільце є кільцем головних ідеалів. Тому достатньо довести, що у є нескінченна кількість простих елементів. Припустимо, що — усі незвідні многочлени зі старшим коефіцієнтом 1. Тоді многочлен не ділиться на жоден із незвідних многочленів, що приводить до суперечності. Тому множина має бути нескінченною і не може бути G-областю.

Властивості

Радикал ідеалу  I є перетином всіх G-ідеалів, що містять I.Kaplansky, Irving. Commutative Algebra. Polygonal Publishing House, 1974, pp. 16, 17. Кожен елемент радикала належить усім простим ідеалам, що містять I, зокрема і всім G-ідеалам, що містять I. Навпаки якщо елемент не належить радикалу ідеалу, то максимальний елемент множини ідеалів, що містять I і не перетинаються із мультиплікативною системою буде деяким простим ідеалом . Образ елемента у фактор-кільці належатиме всім простим ідеалам (зважаючи на максимальність серед простих ідеалів, що не містять ), а тому є G-областю і — G-ідеалом. Якщо область цілісності A із полем часток K є G-областю то будь-яке кільце R таке що теж є G-областю. Кожен максимальний ідеал є G-ідеалом, оскільки фактор-кільце по максимальному ідеалу є полем. G-ідеали є єдиними максимальними ідеалами у кільці Джекобсона, і навпаки кільце є кільцем Джекобсона якщо всі максимальні ідеали є G-ідеалами.Kaplansky, Irving. Commutative Algebra. Polygonal Publishing House, 1974, p. 19. Якщо , є розширенням областей і є G-областю, то є алгебричним над якщо і тільки якщо кожне кільце R таке що є G-областю.Dobbs, David. "G-область Pairs". Trends у Commutative Algebra Research, Nova Science Publishers, 2003, pp. 71–75. Якщо є областю цілісності і кільце є G-областю то теж є G-областю, а елемент — алгебричний над . Область цілісності є G-областю тоді і тільки тоді коли у кільці многочленів існує максимальний ідеал для якого . Нетерівська область цілісності є G-областю якщо і тільки якщо кожен її простий ідеал є максимальним і вона має скінченну кількість максимальних ідеалів (чи, еквівалентно, простих ідеалів).

Примітки

Див. також Кільце Джекобсона

Література