Алгебра над кільцем — алгебрична структура з операціями додавання , множення та множення на скаляр , така що: якщо R — комутативне кільце, тоді R-алгеброю (тобто, алгеброю над кільцем R ) є R-модуль, що одночасно є кільцем в якому R-білінійне множення.
Формально — є R-алгеброю, якщо: — є R-модулем; — є кільцем (в деяких авторів асоціативність не вимагається);
Пов'язані визначення: Якщо A є комутативним кільцем, тоді воно називається комутативною R-алгеброю. Якщо R є полем, тоді A називається алгеброю над полем. Алгебра з діленням — алгебра в якій можливе ділення. В такій алгебрі не існує дільників нуля. Нормована алгебра — це алгебра над полем з нормою ||·||, що задовільняє умову:
Алгебра над полем
Алгебра над полем за визначенням є векторним простором над , тобто має базис. Це дає можливість будувати алгебри над полем по базису, для цього достатньо задати таблицю множення базисних елементів. Такий підхід зручний для скінченновимірних алгебр.
Приклади Алгебри над кільцем: довільне кільце можна розглядати як —алгебру, оскільки множення на ціле число можна звести до додавання та віднімання, алгебри квадратних матриць, алгебри многочленів Алгебри над полем дійсних чисел: Комплексні числа Подвійні числа Дуальні числа Кватерніони Октоніони — не асоціативна алгебра.
Див. також Алгебра над полем Алгебраїчна алгебра Комутативна алгебра
Джерела