Лінійний конгруентний метод — один із методів генерації псевдовипадкових чисел. Застосовується в простих випадках і не володіє криптографічною стійкістю. Входить в стандартні бібліотеки різних компіляторів.
Опис
Лінійний конгруентний метод був запропонований Д. Г. Лемером в 1949 році.D. H. Lehmer, Mathematical methods in large-scale computing units, Proceedings of a Second Symposium on Large-Scale Digital Calculating Machinery, 1949, Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1951, pp. 141—146. MR 0044899 (13,495f) Суть методу полягає в обчисленні послідовності випадкових чисел , вважаючи
де — модуль (натуральне число, відносно якого обчислюють остачу від ділення; ), — множник (), — приріст (), — початкове значення ().
Ця послідовність називається лінійною конгруентною послідовністю. Наприклад, для отримаємо послідовність
Властивості Лінійна конгруентна послідовність, визначена числами , , і періодична з періодом, не більшим за . При цьому довжина періоду рівна тоді і тільки тоді, коли:
Числа і взаємно прості; кратно для кожного простого , що є дільником ; кратно , якщо кратно .
Наявність цієї властивості для випадку , де — число бітів в машинному слові, було доведено М. Грінбергом ().M. Greenberger, Method in randomness, Comm. ACM 8 (1965), 177—179. Наявність цієї властивості для загального випадку і достатність умов були доведені Т. Е. Халлом () і А. Р. Добеллом ().T.E. Hull and A.R. Dobell «Random Number Generators»,SIAM Review 4-3(1962),230-254
Метод генерації лінійної конгруентної послідовності при називають мультиплікативним конгруентним методом, а при — змішаним конгруентним методом. При згенеровані числа будуть мати менший період, ніж при , але при певних умовах можна отримати період довжиною , якщо — просте число. Той факт, що умова може призводити до появи більш довгих періодів, був встановлений В. Е. Томсоном () і незалежно від нього А. Ротенбергом (). Щоб гарантувати максимальність циклу повторення послідовності при , необхідно в якості значення параметра обирати просте число. Найвідомішим генератором подібного типу є так званий мінімальний стандартний генератор випадкових чисел, запропонований Стівеном Парком () і Кейтом Міллером () в 1988 році. Для нього , а .
Методом генерації послідовностей псевдовипадкових чисел, що найчастіше використовують є змішаний конгруентний метод.
Параметри, що часто використовуються
При виборі числа необхідно враховувати наступні умови:
число повинно бути достатньо великим, так як період не може мати більше ніж елементів; значення числа повинно бути таким, щоб обчислювалось швидко.
На практиці при реалізації методу виходячи з вказаних умов частіше всього обирають , де — число бітів в машинному слові. При цьому варто враховувати, що молодші двійкові розряди згенерованих таким чином випадкових чисел демонструють поведінку, далеку від випадкової, тому рекомендується використовувати лише старші розряди. Подібна ситуація не виникає, коли , де — довжина машинного слова. В такому випадку молодші розряди поводять себе так же випадково, як і старші. Вибір множника і приросту зазвичай обумовлений необхідністю виконання умови досягнення періоду максимальної довжини.
Всі наведені константи забезпечують роботу генератора з максимальним періодом. Таблиця упорядкована по максимальному добутку, яке не викликає переповнення в слові заданої довжини.
Переповнюється при a c m 220 106 1283 6075 221 211 1663 7875 222 421 1663 7875 223 430 2531 11979 223 936 1399 6655 223 1366 1283 6075 224 171 11213 53125 224 859 2531 11979 224 419 6173 29282 224 967 3041 14406 225 141 28411 134456 225 625 6571 31104 225 1541 2957 14000 225 1741 2731 12960 225 1291 4621 21870 225 205 29573 139968 226 421 17117 81000 226 1255 6173 29282 226 281 28411 134456 227 1093 18257 86436 227 421 54773 259200 227 1021 24631 116640 228 1277 24749 117128 228 2041 25673 121500 229 2311 25367 120050 229 1597 51749 244944 229 2661 36979 175000 229 4081 25673 121500 229 3661 30809 145800 230 3877 29573 139968 230 3613 45289 214326 230 1366 150889 714025 231 8121 28411 134456 231 4561 51349 243000 231 7141 54773 259200 232 9301 49297 233280 232 4096 150889 714025 233 2416 374441 1771875 234 17221 107839 510300 234 36261 66037 312500 235 84589 45989 217728
Відомий «невдалий» (с точки зору якості вихідної послідовності) алгоритм RANDU, що протягом багатьох десятиліть використовували в різних компіляторах.
Для покращення статистичних властивостей числової послідовності в багатьох генераторах псевдовипадкових чисел використовується лише частина бітів результату. Наприклад, в стандарті ISO/IEC 9899 на мові Сі приведений (але не вказаний в якості обов'язкового) приклад функції rand(), що примусово відкидає молодші 16 і один старший розряд.
#define RAND_MAX 32767
static unsigned long int next = 1;
int rand(void) { next = next * 1103515245 + 12345; return (unsigned int)(next/65536) % (RAND_MAX + 1); }
void srand(unsigned int seed) { next = seed; }
Саме в такому вигляді функція rand() використовується в компіляторах Watcom C/C++. Відомі числові параметри інших алгоритмів, що застосовуються в різних компіляторах і бібліотеках. Source m множник a доданок c використані біти Numerical Recipes 232 1664525 1013904223 Borland C/C++ 232 22695477 1 bits 30..16 in rand(), 30..0 in lrand() glibc (used by GCC)The GNU C library's rand() in stdlib.h uses a simple (single state) linear congruential generator only in case that the state is declared as 8 bytes. If the state is larger (an array), the generator becomes an additive feedback generator and the period increases. See the simplified code that reproduces the random sequence from this library. 231 1103515245 12345 bits 30..0 ANSI C: Watcom, Digital Mars, CodeWarrior, IBM VisualAge C/C++ 231 1103515245 12345 bits 30..16 C99, C11: Suggestion in the ISO/IEC 9899 232 1103515245 12345 bits 30..16 Borland Delphi, Virtual Pascal 232 134775813 1 bits 63..32 of (seed * L) Microsoft Visual/Quick C/C++ 232 214013 (343FD16) 2531011 (269EC316) bits 30..16 Microsoft Visual Basic (6 and earlier) 224 1140671485 (43FD43FD16) 12820163 (C39EC316) RtlUniform from Native APIIn spite of documentation on MSDN , RtlUniform uses LCG, and not Lehmer's algorithm, implementations before Windows Vista are flawed, because the result of multiplication is cut to 32 bits, before modulo is applied 231 − 1 2147483629 (7FFFFFED16) 2147483587 (7FFFFFC316) Apple CarbonLib, C++11's minstd_rand0 231 − 1 16807 0 see MINSTD C++11's minstd_rand 231 − 1 48271 0 see MINSTD MMIX by Donald Knuth 264 6364136223846793005 1442695040888963407 Newlib 264 6364136223846793005 1 bits 63...32 VAX's MTH$RANDOM, old versions of glibc 232 69069 1 Java 248 25214903917 11 bits 47...16 Раніше в багатьох компіляторах: RANDU 231 65539 0
Можливість використання в криптографії Хоча лінійний конгруентний метод породжує статистично хорошу псевдовипадкову послідовність чисел, він не є криптографічно стійким. Генератори на основі лінійного конгруентного методу передбачувані, тому їх не можна використовувати в криптографії. Вперше генератори на основі лінійного конгруентного методу були зламані Джимом Рідсом (Jim Reeds), а потім Джоан Бояр (Joan Boyar). Їй вдалося також виявити недоліки квадратичних і кубічних генераторів. Інші дослідники розширили ідеї Бояр, розробивши способи виявлення недоліків будь-якого поліноміального генератора. Таким чином, було доведено, що генератори на основі конгруентних методів не підходять для використання в криптографії. Однак генератори на основі лінійного конгруентного методу зберігають свою корисність для некриптографічних додатків, наприклад, для моделювання. Вони ефективні і в найбільш використовуваних емпіричних тестах демонструють хороші статистичні характеристики.
Див. також
Генератор псевдовипадкових чисел Інверсний конгруентний метод
Джерела
Посилання