Топологі́чна гру́па — група, яка одночасно є топологічним простором, при цьому множення елементів групи і обертання елемента є неперервними.

Означення Нехай на множині G задані структури групи і топологічного простору, так, що множення

і операція взяття оберненого елементу

— неперервні функції. Тут G × G розглядається як добуток топологічних просторів. Тоді G називається топологічною групою.

Еквівалентно достатньо вимагати неперервність відображення:

Лише однієї вимоги неперервності множення є недостатньо. Наприклад якщо на множині цілих чисел ввести топологію у якій відкритими множинами є і інтервали виду то стандартна операція додавання буде неперервною у цій топології, а взяття оберненого елемента (зміна знаку) — ні.

Хоча формально такої вимоги нема але багато авторів вимагають додатково, щоб простір G був гаусдорфовим.

Гомоморфізмом топологічних груп називається гомоморфізм груп G → H, що є також неперервним відображенням між топологічними просторами. Топологічні групи із їх гомоморфізмами утворюють категорію.

Аналогічно ізоморфізмом топологічних груп називають ізоморфізм груп, що є гомеоморфізмом між топологічними просторами.

Приклади Довільна абстрактна група із дискретною топологією або антидискретною топологією. Векторна група — прямий добуток n екземплярів адитивної групи дійсних чисел із стандартною топологією Коло — факторгрупа групи по підгрупі цілих чисел Множина раціональних чисел із топологією породженою стандартною метрикою Множина p-адичних цілих чисел із топологією породженою p-адичною нормою Групи Лі є топологічними групами із додатковою структурою диференційовного многовиду Топологічні векторні простори є топологічними групами щодо операції додавання елементів векторного простору. Простір із прикладу вище є одним із прикладів топологічного векторного простору.

Властивості

Операція множення на групі задає відображення і Оскільки вони є композиціями тотожного відображення, константи і множення у групі, то обидва ці відображення є неперервними. Оскільки і є неперервними і оберененими до і то всі і є гомеоморфізмами. З попереднього випливає, що якщо для деяких підмножин позначити то для відкритої (замкнутої) підмножини усі підмножини і теж будуть відкритими (замкнутими). Також якщо хоча б одна із підмножин буде відкритою, то і будуть відкритими підмножинами. Якщо ж одна із цих підмножин буде замкнутою, а інша — скінченною, то і будуть замкнутими підмножинами. У комутативній топологічній групі компактної підмножини і замкнутої множини також буде замкнутою множиною. Якщо є базою околів одиничного елемента то для кожного , } є базою околів точки . Тому топологія у групі однозначно визначається базою околів одиничного елемента (чи будь-якого елемента групи). Більш детально, якщо сім'я підмножин групи , що містять одиничний елемент задовільняє умови: Для кожних існує для якої Для кожної існує для якої Для кожної і існує для якої Для кожної і існує для якої то існує єдина топологія на групі для якої є базою відкритих околів одиничного елемента. Базу околів завжди можна вибрати так щоб її елементами були тільки симетричні множини, тобто множини для яких Топологічні групи є регулярними просторами. Для топологічної групи з одиничним елементом 1, твердження нижче є еквівалентними: є T0-простором; є гаусдорфовим простором; є цілком регулярним простором; Множина } є замкнутою у ; Для і існує окіл одиничного елемента у для якого .

Теорема Біркгофа — Какутані. Топологічна група є метризовною тоді і тільки тоді коли вона є гаусдорфовою і задовольняє першу аксіому зліченності. Із попередніх властивостей твердження можна перефразувати, що група є метризовною коли одиничний елемент є замкнутою підмножиною і для нього існує зліченна база околів. Для метризовних груп завжди існують лівоінваріантні і правоінваріантні метрики тобто метрики такі, що для всіх виконуються рівності і

Підгрупи і факторгрупи

Підгрупа топологічної групи є топологічною групою для індукованої топології. Факторпростір суміжних класів забезпечується фактортопологією щодо канонічного відображення групи на . Відображення завжди є відкритим.

Якщо є нормальною підгрупою топологічної групи , то факторгрупа є топологічною групою щодо фактортопології. Компонента зв'язності одиничного елемента групи 0 завжди є замкнутою нормальною підгрупою. Факторгрупа є цілком незв'язаною. Для будь якого елемента g ∈ компонента зв'язності, що містить цей елемент має вигляд 0 або еквівалентно 0, тобто компонентами зв'язності є ліві і праві класи суміжності по підгрупі 0.

Кожна відкрита підгрупа є також замкнутою у , оскільки доповнення є об'єднанням відкритих множин для . Якщо є підгрупою то і замикання є підгрупою. Зокрема якщо є нормальною підгрупою, то і замикання є нормальною підгрупою у .

Факторпростір є гаусдорфовим тоді і тільки тоді коли підгрупа є замкнутою у (не обов'язково гаусдорфовій) групі . Якщо підгрупа і факторпростір є гаусдорфовими, то і група є гаусдорфовою. Факторпростір завжди є регулярним.

Як і кожна абстрактна група топологічна група задовольняє групові теореми про ізоморфізми. У випадку першої теореми про ізоморфізм якщо гомоморфізм топологічних груп є не лише неперервним, а й відкритим (або замкнутим) відображенням, то ізоморфізм груп і образу гомоморфізма є також гомеоморфізмом, тобто також і ізоморфізмом у категорії топологічних груп. Додаткові вимоги для гомоморфізму є необхідними. Якщо, наприклад, розглянути тор і неперервний гомоморфізм заданий як для ірраціонального числа , то є ін'єктивним відображенням і його образ є ізоморфний як група адитивній групі дійсних чисел. Проте із індукованою топологією він не є гомеоморфний множині дійсних чисел із стандартною топологією, оскільки будь-який окіл довільної точки містить як завгодно великі дійсні числа. Для третьої теореми про ізоморфізм якщо , — нормальні підгрупи в , такі що , тоді існує ізоморфізм груп і і він також завжди є гомеоморфізмом відповідних топологічних просторів, тобто також і ізоморфізмом у категорії топологічних груп. Для другої теореми про ізоморфізм для — підгрупи в і — нормальної підгрупи в ізоморфізм факторгруп і може не бути гомеоморфізмом. Наприклад нехай і де є деяким ірраціональним числом і груповою операцією в усіх групах є звичайне додавання. Тоді і тому тобто є дискретним простором ізоморфним адитивній групі цілих чисел. Натомість є щільною підмножиною дійсних чисел, а тому є щільною підмножиною кола Відповідно не є дискретним простором оскільки кожна його відкрита підмножина містить нескінченну кількість елементів. Відповідно простори і не є гомеоморфними.

Рівномірні структури Топологічна група є рівномірним простором якщо прийняти, що підмножина є оточенням якщо і тільки якщо вона містить множину для деякого околу одиничного елемента групи . Ця рівномірна структура на називається правою рівномірною структурою на , оскільки для кожного елемента , праве множення є рівномірно неперервним щодо цієї рівномірної структури.

Також можна ввести ліву рівномірну структуру на , вони можуть бути різними але породжують однакову топологію на .

Існування рівномірної структури на топологічній групі дозволяє ввести і використовувати поняття рівномірної неперервності, послідовності Коші, повноти і поповнення.

Гомотопні властивості Якщо є петлями в одиничному елементі (тобто ) то для фундаментальної групи множення визначається множенням у самій групі тобто де є петлею одержаною звичайним множенням у групі, тобто Аналогічно у фундаментальній групі

Фундаментальна група топологічної групи є комутативною.

Оскільки будь-яка петля у елементі є неперервним образом петлі при відображенні і дві петлі у елементі є гомотопними тоді і тільки тоді коли гомотопними є відповідні петлі і то всі фундаментальні групи є ізоморфними і групу як правило просто позначають

П'ята проблема Гільберта Визначальну роль в побудові теорії топологічних групі відіграла п'ята проблема Гільберта. Сформульована в 1900 як проблема про локальні групи перетворень, ця проблема була переосмислена в процесі розвитку теорії топологічних груп.

У сучасних термінах проблему можна сформулювати як: чи є будь-яка топологічна група, що є також топологічним многовидом групою Лі?

П'ята проблема Гільберта була вирішена у 1952. Важливим елементом стало доведення критерію, що локально компактна група є групою Лі тоді і тільки тоді, коли у існує окіл одиниці, який не містить нетривіальних підгруп.

Було показано також, що локально компактна група з компактною факторгрупою є проективною границею груп Лі.

Див. також H-простір Група Лі Топологічний векторний простір

Джерела