В алгебричній теорії чисел, модулем (також циклом, чи розширеним ідеалом) називається формальний добуток простих ідеалів (скінченних чи нескінченних) глобального поля (тобто алгебричного числового поля чи глобального поля функцій). Модулі, зокрема, є важливими для дослідження розгалуження в абелевих розширеннях глобальних полів. глобальне поле.

Означення

Нехай K — глобальне поле з кільцем цілих чисел R. Модулем називається формальний добуток

де добуток береться по всіх скінченних чи нескінченних простих ідеалах p поля K, степені ν(p) є рівними нулю за винятком скінченної кількості p. Якщо K є числове поле, ν(p) = 0 чи 1 для дійсних нескінченних простих ідеалів і ν(p) = 0 для комплексних. Якщо K є полем функцій, ν(p) = 0 для всіх нескінченних простих ідеалів.

У випадку полів функцій, модуль це те саме, що ефективний дивізор.

Модуль задає відношення еквівалентності на множині ненульових елементів поля K. Якщо a і b є елементами K×, означення a ≡∗b (mod pν) залежить від типу простого ідеалу p: Якщо p є скінченним, то

де ordp позначає нормалізоване нормування для простого ідеалу p; Якщо p є дійсним (для числового поля) і ν = 1, то

для вкладення в поле дійсних чисел асоційоване з p. Для інших нескінченних простих ідеалів жодних умов немає. Тоді для модуля m, a ≡∗b (mod m) якщо a ≡∗b (mod pν(p)) для всіх p such that ν(p) > 0.

Група променевих класів

Променем за модулем m називається

Модуль m розкладається на два підмодулі, mf і m∞ — добуток скінченних і нескінченних простих ідеалів відповідно.

Для модуля m через Im позначимо: якщо K є числовим полем, підгрупу групи дробових ідеалів, що породжується ідеалами взаємно простими з mf; якщо K є полем функцій алгебричної кривої над k, групу дивізорів, раціональних над k, із носієм за межами m.

В обох випадках, існує гомоморфізм груп i : Km,1 > Im для якого образом елемента a є головний ідеал (відповідно дивізор) (a).

група променевих класів modulo m є факторгрупою Cm = Im/i(Km,1). Клас суміжності i(Km,1) називається променевим класом за модулем m.

Перше означення характеру Геке можна інтерпретувати в термінах характерів групи променевих класів для деякого модуля m.

Властивості Коли K є числовим полем, виконуються такі властивості. Коли m = 1, група променевих класів є рівною групі класів ідеалів. Група променевих класів є скінченною її порядок завжди ділиться на порядок групи класів ідеалів K.

Примітки

Література