Теорема Линника про розклад згортки нормального розподілу та розподілу Пуассона є узагальненням теореми Крамера про розклад нормального розподілу та теореми Райкова про розклад розподілу Пуассона. Ця теорема є однією з найважливіших теорем в арифметиці ймовірнісних розподілів і була доведена Ю. В. Линником у 1957 роціЛинник, Ю. В. (1957). О разложении композиции законов Гаусса и Пуассона. Теория вероятностей и её применения. 2 (1): 31–57.. Доведення теореми Линника потребує значно сильніших аналітичних методів, ніж доведення теорем Крамера та Райкова. Початкове доведення теореми було дуже складним. Воно було суттєво спрощене І. В. ОстровськимОстровский, И. В. (1965). О разложении композиции закона Гаусса и Пуассона. Успехи математических наук. 20 (4): 166–171.. Він також довів багатовимірний аналог цієї теоремиОстровский, И. В. (1971). Многомерный аналог теоремы Ю. В. Линника о разложении композиции законов Гаусса и Пуассона. Теория вероятностей и её применения. 16 (4): 742–745..
Формулювання теореми Нехай розподілом випадкової величини є згортка нормального розподілу та розподілу Пуассона та нехай може бути представлена у вигляді суми двох незалежних випадкових величин . Тоді розподіли випадкових величин та також є згортками нормальних розподілів та розподілів Пуассона.
Теорема Линника означає, що згортка нормального розподілу та розподілу Пуассона належить класу Линника , тобто не має нерозкладних дільників.
Узагальнення на локально компактні абелеви групи
Наступне твердження можна розглядати як аналог теореми Линника для локально компактних абелевих груп.
ТеоремаFeldman, G. M.; Fryntov, A. E. (1983). On the decomposition of the convolution of a Gaussian and Poisson distribution on locally compact abelian groups. Journal of Multivariate Analysis. 13 (1): 148–166. https://doi.org/10.1016/0047-259X(83)90010-6, див. також Fel'dman, G. M. (1993). Arithmetic of Probability Distributions and Characterization Problems on Abelian Groups. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 116. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0821845810.. Нехай — локально компактна абелева група, така що її зв’язна компонента нуля має скінченну розмірність. Нехай — розподіл Гауса на , а — розподіл Пуассона на . Нехай усі дільники є розподілами Гауса, а всі дільники є зсувами розподілів Пуассона. Тоді всі дільники згортки є згортками розподілів Гауса та Пуассона.
Примітки
Література
Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов. — М.: Наука, 1972. — 480 с. Lukacs E. Characteristic functions. — London: Griffin, 1970. — 350 p. Ramachandran B. Advanced theory of characteristic functions. — Calcutta: Statistical Publishing Society, 1967. — vii+208 p.