Функція Салема є функцією розподілу випадкової величини де — послідовність незалежних в сукупності випадкових величин, які набувають значень та з ймовірностями та відповідно, де
Потрібно відмітити, що при тобто має вироджений розподіл з параметром і відповідно При маємо тобто має рівномірний розподіл на відрізку
Актуальність Функція Салема — одна із перших сингулярних строго зростаючих функцій на відрізку Salem R. On some singular monotonic function which are strictly increasing. // Trans. Amer. Math. Soc. — 1943. — Vol.53, no.3. — 427-439 p.. В деяких джерелахПрацьовитий М.В. Фрактальний підхід у дослідженнях сингулярних розподілів. — Київ: Вид-во НПУ імені М. П. Драгоманова, 1998. — 296 с. відповідну функцію називають функцією Салема-Такача. Це викликано тим, що Такач, у відповідному дослідженніTacas L. An increasing continuous singular function // Amer. Math. Mon.— 1978. — 85. — 35-37., розглядав аналогічну функцію для параметра Функція Салема є цікавою тим, що є одним з перших прикладів строго зростаючих функцій розподілу, існування яких було далеко незрозумілим та неочевидним всілякому загалу наукового рівня відповідного характеру. У зв'язку з чим навіть в роботах достатньо визнаного характеруБоровков А.А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1986. — 432 с. зустрічалось означення сингулярної функції розподілу ймовірностей наступного типу: під сингулярною функцією розподілу ймовірностей розуміють функцію розподілу множина точок росту якої має міру Лебега 0.
Властивості Для виконуються такі властивості:
1) сингулярна, тобто майже скрізь в розумінні міри Лебега.
2) строго зростає на відрізку
3) Для функції Салема виконується наступна функціональна рівність причому
Відомо, що правильне обернене твердження: якщо неперервна функція задовольняє умови для деякого і то є функцією СалемаМорока В.А. К вопросу о функции распределения суммы случайного степенного ряда. // Случайные процесы и бесконечномерный анализ. — Киев.: Ин-т математики АН УССР, 1992. — 88-91 с..
4) задовольняє умову Гьольдера з показником який не можна покращити:
Турбин А.Ф., Працевитий Н.В. Фрактальные множества, функции, распределения. — Київ: Наук.думка, 1992. — 208 с..
5) Якщо — множина точок таких, що то де — розмірність Гаусдорфа-БезиковичаПрацьовитий М.В. Фрактальний підхід у дослідженнях сингулярних розподілів. — Київ:Вид-во НПУ імені М.П. Драгоманова, 1998. — 296 с..
6) Якщо — характеристична функція випадкової величини то де Гончаренко Я.В. Асимптотичні властивості характеристичної функції випадкової величин з незалежними двійковими цифрами та згортки сингулярних розподілів. // Наукові записки НПУ імені Драгоманова. Фізико-математичні науки. — №3, 2002. — 376-390 с..
Примітки