Теорема Гаусса — Люка описує геометричну залежність між коренями многочлена p(z) і коренями його похідної на комплексній площині Теорема стверджує, що корені похідної многочлена лежать в опуклій оболонці коренів самого многочлена. Оскільки ненульовий многочлен має скінченну кількість коренів, то опукла оболонка цих коренів є найменшим опуклим многокутником на комплексній площині, що містить ці корені.
Деякою мірою це твердження є аналогом теореми Ролля для функцій однієї дійсної змінної, яка стверджує, що між двома нулями диференційовної функції знаходиться нуль її похідної.
Твердження Якщо є многочленом із комплексними коефіцієнтами і не є рівним константі, то всі корені многочлена належать опуклій оболонці коренів многочлена .
Доведення Згідно основної теореми алгебри можна записати
,
де є коренями многочлена (які можуть повторюватися), — коефіцієнт біля . Для такого запису многочлена похідну можна обчислити як:
.
Поділивши на одержується рівність
.
Нехай позначає довільний корінь похідної: . Якщо , то він очевидно належить опуклій оболонці цих чисел. Якщо , то з попередньої рівності:
.
Використавши елементарну рівність одержуємо.
або після комплексного спряження
Попередню рівність можна переписати як:
Якщо позначити
то, очевидно, , тобто
,
Отже, є опуклою комбінацією що завершує доведення.
Література
Félix Lucas, Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations, C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX (1879), с. 224—226